Question

Utilizando a fatoração x2−y2=(x−y)(x y), podemos escrever (5015(5015 3) 1)2−1 como o produto de 4 inteiros consecutivos. Qual é a soma destes inteiros?

Answer 1

A soma dos números inteiros será igual a 20066.

Fatoração da diferença de dois quadrados

Temos então que x²−y² fatorado será igual:

x²−y²=(x−y)*(x + y)

Aplicando ao exercício

Foi nos dado que:

(5015*(5015 3) 1)²−1

Para fatorar, chamaremos 5015 de x.

Temos então a expressão:

(x(x+3) + 1)² - 1.

Vamos utilizar a sugestão dada da fatoração da diferença de dois quadrados (lembrando que 1 = 1²):

(x(x+3) + 1 + 1)(x(x+3) + 1 - 1)

(x(x+3) + 2)(x(x+3) + 0)

(x(x+3) + 2) * x * (x+3)

Sendo assim indentificamos dois possíveis números do nosso potencial produto de 4 inteiros consecutivos: x e (x+3).

Se mostramos que o fator (x(x+3) + 2) = (x+1)(x+2), completamos o produto de 4 inteiros consecutivos.

Aplicando a distributiva, temos:

x² + 3x + 2

Agora vamos fazer um agrupamento:

x² + x + 2x + 2

x(x+1) + 2(x+1)

Botamos em evidência o (x+1), obtendo:

(x+1)(x+2)

Logo, a expressão original (x(x+3) + 1)^2 - 1 é igual a

x(x+1)(x+2)(x+3)

que é justamente o produto de 4 inteiros consecutivos.

A soma desses inteiros vai ser então:

x + (x+1) + (x+2) + (x+3)

(x + x + x + x) + (1 + 2 +3)

4x + 6

Substituindo o x de volta, o resultado final vai ser:

4 * 5015 + 6 = 20066

A soma dos números inteiros será igual a 20066.

Entenda mais sobre fatoração da diferença de dois quadrados aqui: https://brainly.com.br/tarefa/53529999

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