Utilizando a fatoração x²-y²=(x-y)(x+y), podemos escrever (3715(3715+3)+1)²-1 como o produto de 4 inteiros consecutivos. Qual é a soma destes inteiros?
Soluções para a tarefa
Resposta:
resposta do colega está correta
Explicação passo a passo:
Temos então a expressão (n(n+3) + 1)^2 - 1.
Vamos utilizar a "sugestão" da fatoração da diferença de dois quadrados (lembrando que 1 = 1^2).
(n(n+3) + 1 + 1)(n(n+3) + 1 - 1) =
= (n(n+3) + 2)(n(n+3) + 0) =
=(n(n+3) + 2) * n * (n+3)
Opa! Já temos dois números do nosso potencial produto de 4 inteiros consecutivos:
n e (n+3). Se mostramos que o fator (n(n+3) + 2) = (n+1)(n+2), completamos o produto de 4 inteiros consecutivos. Vamos lá. Aplicando a distributiva, temos:
n^2 + 3n + 2
Agora vamos fazer um agrupamento, uma fatoração um pouquinho mais complicada (para evitar de calcular as raízes dessa função de 2o grau. Esquece que eu disse isso hehe):
= n^2 + n + 2n + 2 =
= n(n+1) + 2(n+1)
Botamos em evidência o (n+1), obtendo:
(n+1)(n+2)
que era justamente o que queríamos. :D
Logo, a expressão original (n(n+3) + 1)^2 - 1 é igual a (n+1)(n+2)n(n+3) =
= n(n+1)(n+2)(n+3)
que é justamente o produto de 4 inteiros consecutivos.
A soma desses inteiros vai ser então:
n + (n+1) + (n+2) + (n+3) =
= (n + n + n + n) + (1 + 2 +3)
= 4n + 6
A soma dos 4 inteiros consecutivos é 14.866.
Equações
Equações são sentenças algébricas contendo uma ou mais incógnitas que afirmam a igualdade entre duas expressões.
Pelo enunciado, temos a expressão (3715·(3715 + 3) + 1)² - 1. Utilizando a fatoração x² - y², teremos que:
- x² = (3715·(3715 + 3) + 1)
- y² = 1 = 1²
Vamos chamar o número 3715 de k, desta forma:
x² - y² = ((k·(k + 3) + 1) - 1)((k·(k + 3) + 1) + 1)
x² - y² = k · (k + 3) · (k·(k + 3) + 2)
x² - y² = k · (k + 3) · (k² + 3k + 2)
Fatorando o último termo, teremos:
x² - y² = k · (k + 3) · (k + 1) · (k + 2)
Portanto, temos que a expressão original está descrita como um produto de 4 inteiros consecutivos. A soma deles será:
k + k+1 + k+2 + k+3 = 3715 + 3716 + 3717 + 3718
k + k+1 + k+2 + k+3 = 14.866
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