Question

Utilizando a fatoração calcule o limite.
Lim     x³ -1
x-1     (x-1)²

Answer 1

$L=\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}$


Aplicando $x\to 1,$ chegamos a uma indeterminação do tipo $0/0.$ Então, $x=1$ é uma raiz dos polinômios no numerador e no denominador.

Sendo assim, temos a garantia de que tanto o numerador como o denominador são divisíveis por $(x-1):$


Fatorando o numerador e o denominador por $(x-1),$ temos

$L=\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{(x-1)\cdot (x^{2}+x+1)}{(x-1)\cdot (x-1)}$


Simplificando o fator comum $(x-1)$ no numerador e no denominador, temos

$L=\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x^{2}+x+1}{x-1}$


Aplicando novamente $x \to 1,$ chegamos a uma indeterminação do tipo $k/0.$ Então devemos avaliar os sinais do numerador e no denominador na vizinhança de $x=1:$


$\bullet\;\;$ Na vizinhaça pela direita, ($x$ se aproxima de $1$ com valores maiores que $1$), temos que

$x^{2}+x+1\to 3>0\\ \\ x-1<0$


$\bullet\;\;$ Na vizinhaça pela esquerda, ($x$ se aproxima de $1$ com valores menores que $1$), temos que

$x^{2}+x+1\to 3>0\\ \\ x-1>0$


Como o denominador mudou se sinal na vizinhança de $1,$ então o limite

$\underset{x \to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}$

não existe.