Matemática, perguntado por kaahtamanaka, 8 meses atrás

Utilizando 4 retângulos e como altura o ponto médio, podemos dizer que a área R aproximada da região que se encontra acima do eixo-x , abaixo da curva y=1−x2 e entre as retas x=0 e x=1 é:

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo e estimativa de áreas.

Seja a região R compreendida abaixo da curva y=1-x^2 e acima do eixo x e as retas verticais x=0 e x=1.

Devemos utilizar 4 retângulos cujas alturas serão o ponto médio dos intervalos que determinam suas bases para calcular uma aproximação para a área de R.

Lembre-se que a área sob uma função f(x), contínua em um intervalo fechado [a,~b] utilizando n sub-intervalos pode ser calculada como uma soma de retângulos cujas alturas são os pontos médios pelo somatório: \displaystyle{\sum_{i=0}^nf\left(\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)\cdot\Delta x, em que \Delta x=\dfrac{b-a}{n} e x_{i+1}=x_{i}+\Delta x.

Observe que as retas x=0 e x=1 determinam um intervalo fechado [0,~1] no qual a região está limitada.

Calculamos o passo \Delta x, utilizando b=1,~a=0 e n=4:

\Delta x=\dfrac{1-0}{4}\\\\\\ \Delta x=\dfrac{1}{4}

Substituindo estes dados no somatório, temos:

\displaystyle{\sum_{i=0}^4f\left(\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{4}}\\\\\\\dfrac{1}{4}\cdot\displaystyle{\sum_{i=0}^4f\left(\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)}

Fazendo f(x)=1-x^2 e expandindo o somatório, temos:

\dfrac{1}{4}\cdot\left(1-\left(\dfrac{x_0+x_1}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{x_2+x_3}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{x_3+x_4}{2}\right)^2\right)

Fazendo x_0=0,~x_1=\dfrac{1}{4},~x_2=\dfrac{1}{2},~x_3=\dfrac{3}{4} e x_4=1, teremos:

\dfrac{1}{4}\cdot\left(1-\left(\dfrac{0+\dfrac{1}{4}}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{\dfrac{3}{4}+1}{2}\right)^2\right)

Some os valores, calcule as frações de frações e potências

\dfrac{1}{4}\cdot\left(1-\left(\dfrac{1}{8}\right)^2+1-\left(\dfrac{3}{8}\right)^2+1-\left(\dfrac{5}{8}\right)^2+1-\left(\dfrac{7}{8}\right)^2\right)\\\\\\ \dfrac{1}{4}\cdot\left(1-\dfrac{1}{64}+1-\dfrac{9}{64}+1-\dfrac{25}{64}+1-\dfrac{49}{64}\right)

Some e multiplique as frações

\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{43}{16}\\\\\\ \dfrac{43}{64}\\\\\\ \approx 0.671~\bold{u.~a}

Esta é uma aproximação para a área da região R utilizando a soma dos pontos médios.

Anexos:
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