Question

Utilizando 4 retângulos e como altura o ponto médio, podemos dizer que a área R aproximada da região que se encontra acima do eixo-x , abaixo da curva y=1−x2 e entre as retas x=0 e x=1 é:

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Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo e estimativa de áreas.

Seja a região $R$ compreendida abaixo da curva $y=1-x^2$ e acima do eixo $x$ e as retas verticais $x=0$ e $x=1$.

Devemos utilizar $4$ retângulos cujas alturas serão o ponto médio dos intervalos que determinam suas bases para calcular uma aproximação para a área de $R$.

Lembre-se que a área sob uma função $f(x)$, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ utilizando $n$ sub-intervalos pode ser calculada como uma soma de retângulos cujas alturas são os pontos médios pelo somatório: $\displaystyle{\sum_{i=0}^nf\left(\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)\cdot\Delta x$, em que $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ e $x_{i+1}=x_{i}+\Delta x$.

Observe que as retas $x=0$ e $x=1$ determinam um intervalo fechado $[0,~1]$ no qual a região está limitada.

Calculamos o passo $\Delta x$, utilizando $b=1,~a=0$ e $n=4$:

$\Delta x=\dfrac{1-0}{4}\\\\\\ \Delta x=\dfrac{1}{4}$

Substituindo estes dados no somatório, temos:

$\displaystyle{\sum_{i=0}^4f\left(\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{4}}\\\\\\\dfrac{1}{4}\cdot\displaystyle{\sum_{i=0}^4f\left(\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}\right)}$

Fazendo $f(x)=1-x^2$ e expandindo o somatório, temos:

$\dfrac{1}{4}\cdot\left(1-\left(\dfrac{x_0+x_1}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{x_2+x_3}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{x_3+x_4}{2}\right)^2\right)$

Fazendo $x_0=0,~x_1=\dfrac{1}{4},~x_2=\dfrac{1}{2},~x_3=\dfrac{3}{4}$ e $x_4=1$, teremos:

$\dfrac{1}{4}\cdot\left(1-\left(\dfrac{0+\dfrac{1}{4}}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}}{2}\right)^2+1-\left(\dfrac{\dfrac{3}{4}+1}{2}\right)^2\right)$

Some os valores, calcule as frações de frações e potências

$\dfrac{1}{4}\cdot\left(1-\left(\dfrac{1}{8}\right)^2+1-\left(\dfrac{3}{8}\right)^2+1-\left(\dfrac{5}{8}\right)^2+1-\left(\dfrac{7}{8}\right)^2\right)\\\\\\ \dfrac{1}{4}\cdot\left(1-\dfrac{1}{64}+1-\dfrac{9}{64}+1-\dfrac{25}{64}+1-\dfrac{49}{64}\right)$

Some e multiplique as frações

$\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{43}{16}\\\\\\ \dfrac{43}{64}\\\\\\ \approx 0.671~\bold{u.~a}$

Esta é uma aproximação para a área da região $R$ utilizando a soma dos pontos médios.