Question

(UTFPR) sejam x1 e x2 as raizes da equacao 3x²-5x+p=0 e $\frac{1}{x'} + \frac{1}{x''}= \frac{5}{2}$ determine o valor de P

Answer 1

$x'$ e $x''$ são raízes da equação

$3x^{2}-5x+p=0\;\;\;\Rightarrow\;\;a=3;\,b=-5;\;c=p$


Pelas relações de Girard, temos que

$x'+x''=-\dfrac{b}{a}\\ \\ \\ x'+x''=-\dfrac{(-5)}{3}\\ \\ \\ x'+x''=\dfrac{5}{3} \;\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ \\ \\ x'\cdot x''=\dfrac{c}{a}\\ \\ \\ x'\cdot x''=\dfrac{p}{3}\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


A questão informa que

$\dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{x''}=\dfrac{5}{2}$


Reduzindo as frações do lado esquerdo ao mesmo denominador (fazemdo o mmc dos denominadores),

$\dfrac{x''}{x'\cdot x''}+\dfrac{x'}{x' \cdot x''}=\dfrac{5}{2}\\ \\ \\ \dfrac{x''+x'}{x' \cdot x''}=\dfrac{5}{2}$


No lado esquerdo, o numerador é a soma e o denominador é o produto. Substituindo a soma $\mathbf{(i)}$ e o produto $\mathbf{(ii)},$ temos

$\dfrac{(\frac{5}{3})}{(\frac{p}{3})}=\dfrac{5}{2}\\ \\ \\ \dfrac{5}{\diagup\!\!\!\! 3}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\! 3}{p}=\dfrac{5}{2}\\ \\ \\ \dfrac{5}{p}=\dfrac{5}{2}\\ \\ \\ p=2$