Question

(UTFPR) O ângulo agudo formado pelas retas concorrentes (r) y = 3/2 x - 1 e (s) x/2 + y/5 = 1 é

a) arctg(4/19)
b) arctg(16/19)
c) arctg(16/11)
d)arctg(11/4)
e) arctg(4/11)

Ps.: Coloque, por favor, as resoluções dessa questão pra mim.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Nexus, que a resolução é mais ou menos simples.
 Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o ângulo agudo formado pelas retas concorrentes (r) e (s) abaixo:

r ---> y = 3x/2 - 1
e
s ---> x/2 + y/5 = 1

ii) Como a reta "r" já tem o seu coeficiente angular calculado (que é igual a "3/2", pois é o coeficiente de "x" após termos "y" isolado), então vamos calcular o coeficiente angular da reta "s", que é esta:

x/2 + y/5 = 1 ---- mmc entre 2 e 5 = 10. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

(5*x + 2*y)/10 = 1
(5x + 2y)/10 = 1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
5x + 2y = 10*1
5x + 2y = 10 ---- passando "5x" para o 2º membro, teremos;
2y = -5x + 10 ---- agora vamos isolar "y", ficando:
y = - 5x/2 + 10/2 --- ou apenas:
y = -5x/2 + 5 --- (veja que o coeficiente angular da reta "s" é igual a "-5/2", pois é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y").

iii) Agora vamos encontrar qual é o ângulo entre essas duas retas. Note que já temos que os dois coeficientes angulares das retas "r" e "s" são, respectivamente: mr = 3/2; ms = -5/2.
Vamos aplicar a fórmula para encontrar o coeficiente entre duas retas. A fórmula é esta:

tan(α) = |(mr - ms)/(1+mr*ms)| ---- substituindo-se "mr" por "3/2" e "ms" por "-5/2", teremos:

tan(α) = |(3/2 - (-5/2))/(1+(3/2)*(-5/2)|
tan(α) = |(3/2 + 5/2)/(1-3*5/2*2)|
tan(α) = |(8/2)/(1-15/4)| ---- note que "1 - 15/4 = - 11/4" . Assim, teremos:
tan(α) = |(8/2)/(-11/4)| ---- note que o módulo disso será:
tan(α) = (8/2)/(11/4) ---- veja que temos uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

tan(α) = (8/2)*(4/11) --- efetuando este produto, teremos:
tan(α) = 8*4/2*11
tan(α) = 32/22 ----- simplificando-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:

tan(α) = 16/11 ---- ou seja, o coeficiente angular é o arco cuja tangente é igual a "16/11", o que você poderá informar assim:

arctan(16/11) <--- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.