Question

(USP)O quociente de x' por x'' no conjunto solução da equação logarítmica

$\boxed{27x^{log_3x}=x^4}$é:

a) um número > 2 e < 4
b) um número primo
c) um número de dízima com período 52
d) um número racional inteiro
e) um número múltiplo de 5

Answer 1

$27x ^{log _{3}x }= x^{4}$

Vamos aplicar log na base 3, em ambos os lados da equação:

$log _{3}(27x ^{log _{3}x })=log _{3} x^{4}$

$log _{3}27*log _{3} x ^{log _{3}x }=log _{3} x^{4}$

Usando a p1 (logaritmo do produto), temos que:

$log _{3}27+log _{3}x ^{log _{3}x }=log _{3} x^{4}$

Usando a definição de que $log _{3}27=3$ e usando a p3 (logaritmo da potência), temos:

$3+(log _{3}x*log _{3} x)=4*log _{3}x$

Usando uma variável auxiliar, fazendo $log _{3}x=n$, teremos:

$3+(n*n)=4*n\\ 3+n ^{2}=4n\\ n ^{2}-4n+3=0$

$n'=1~~e~~n''=3$

Retomando a variável original, $log _{3}x=n$ temos,

para n=1:

$log _{3}x=1\\ x=3 ^{1}\\ x'=3$


para  n=3:

$log _{3}x=3\\ x=3 ^{3}\\ x''=27$

O quociente de x'/x''=> 3/27 => 1/9  =>  portanto um número racional inteiro, alternativa D