Question

USEB 2000. Adapatada). para qalquer x real a sequência (5x, 5x+1, 5x +2, 5x+3,.....)  é 
uma progressão geométrica de razão :

a = 5-1   
b= 5 
c= 5x
d= 5-x  
e= 5x+1

Answer 1

Para encontrar a razão ($q$) de uma progressão geométrica (PG) devemos fazer a razão entre um termo e o seu antecessor, pois sabemos que a fórmula do termo geral ($a_n$) de uma PG é:

$a_n=a_1.q^{n-1}$

Se fizermos a razão entre dois termos consecutivos teremos a razão ($q$). Assim:

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_1.q^{(n-1)}}{a_1.q^{[(n-1)-1]}}=\frac{1.q^(n-1)}{1.q^{(n-1)}.q^{-1}}$

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{q^(n-1)}{q^{(n-1)}.q^{-1}}=\frac{1}{1.q^{-1}}=\frac{1}{q^{-1}}=q^{1}=q$

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$

Sabendo disto basta fazer a razão entre dois termos consecutivos quaisquer desta PG. Assim:

$q=\frac{a_2}{a_{1}}=\frac{5x+1}{5x}$

Se fizermos com outros dois termos.

$q=\frac{a_3}{a_{2}}=\frac{5x+2}{5x+1}$

Podemos perceber que está sequência não é uma PG pois encontramos razões diferentes. Esta sequência é uma progressão aritmética (PA). Podemos perceber calculando a razão ($r$) entre dois termos de uma PA. Assim:

$a_n=a_1+r(n-1)$

Logo:

$a_2=a_1+r(2-1)$

$a_2=a_1+r(1)$

$a_2=a_1+r$

$5x+1=5x+r$

$5x+1-5x=r$

$1=r$

$r=1$

Para testar vamos fazer com outros termos:

$a_n=a_1+r(n-1)$

$a_3=a_1+r(3-1)$

$a_3=a_1+r(2)$

$a_3=a_1+2r$

$5x+2=5x+2r$

$5x+2-5x=2r$

$2=2r$

$2r=2$

$r=\frac{2}{2}$

$r=1$

Como podemos ver a razão ($r$) foi a mesma. Então podemos concluir que esta sequência NÃO é um PG e sim uma PA com razão $1$.

ATENÇÃO: Analisei melhor sua pergunta e para ter sentido a sequência dada deve ser (5^x, 5^{x+1}, 5^{x+2}, 5^{x+3}, ...). Esta sim é uma PG cuja razão é:

$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$

$\frac{a_2}{a_{2-1}}=q$

$\frac{a_2}{a_{1}}=q$

$\frac{5^{x+1}}{5^x}=q$

$\frac{5^x.5^1}}{5^x}=q$

$\frac{1.5^1}}{1}=q$

$5^1=q$

$5=q$

$q=5$

Logo a razão ($q$) da PG dada será $5$.