Question

Use uma tecnica de integração adequada para calcular a area limitada pela circunferência:
x^2 + y^2 = 9

Answer 1

Isolando  y  em função de  x:

     $x^2+y^2=9\\\\ y^2=9-x^2\\\\ y=\pm\,\sqrt{9-x^2}$


Como a circunferência é perfeitamente simétrica em relação aos eixos coordenados, podemos calcular a área sob o gráfico da função que está no 1º quadrante do plano cartesiano
 
     $y=\sqrt{9-x^2}\,,\qquad\quad 0\le x\le 3$


e multiplicar o resultado por  4.  Esta será a área procurada:

     $\displaystyle A=4\int_0^3\sqrt{9-x^2}\,dx$


Faça uma substituição trigonométrica:

     $x=3\,\mathrm{sen\,}\theta\quad\Rightarrow\quad\left\{ \!\begin{array}{l} dx=3\cos\theta\,d\theta\\\\ \theta=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{3}\right) \end{array} \right.$

com  0 ≤ θ ≤ π/2.


Além disso,

     $\sqrt{9-x^2}\\\\ =\sqrt{3^2-x^2}\\\\ =\sqrt{3^2-(3\,\mathrm{sen\,}\theta)^2}\\\\ =\sqrt{3^2-3^2\,\mathrm{sen^2\,}\theta}\\\\ =\sqrt{3^2(1-\mathrm{sen^2\,}\theta)}\\\\ =\sqrt{3^2\cos^2\theta}\\\\ =3|\cos\theta|\\\\ =3\cos\theta$

pois como  0 ≤ θ ≤ π/2,  neste intervalo o cosseno nunca é negativo. Por isso, o módulo do cosseno é igual ao próprio cosseno.


Novos limites de integração em  θ:

     $\begin{array}{lcl} \textsf{Quando~~}x=0&\quad\Rightarrow\quad&\theta=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{0}{3}\right)\\\\ &&\theta=\mathrm{arcsen}(0)\\\\ &&\theta=0 \end{array}$


     $\begin{array}{lcl} \textsf{Quando~~}x=3&\quad\Rightarrow\quad&\theta=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{3}{3}\right)\\\\ &&\theta=\mathrm{arcsen}(1)\\\\ &&\theta=\dfrac{\pi}{2} \end{array}$


Substituindo tudo, a integral que fornece a área fica

     $\displaystyle A=4\int_0^{\pi/2}3\cos\theta\cdot 3\cos\theta\,d\theta\\\\\\ =4\int_0^{\pi/2}9\cos^2\theta\,d\theta\\\\\\ =4\cdot 9\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta\\\\\\ =36\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$


Use a seguinte identidade trigonométrica:

     •   cos² θ= (1/2) · (1 + cos 2θ)


e a integral fica

     $\displaystyle=36\int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}\,(1+\cos2\theta)\,d\theta\\\\\\ =36\cdot \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}(1+\cos2\theta)\,d\theta\\\\\\ =18\int_0^{\pi/2}(1+\cos2\theta)\,d\theta\\\\\\ =18\int_0^{\pi/2}d\theta+18\int_0^{\pi/2} \cos 2\theta\,d\theta\\\\\\ =18\cdot \theta\big|_0^{\pi/2}+18\cdot \left(\frac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}2\theta \right)\!\bigg|_0^{\pi/2}$

     $=18\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}-0\right)+18\cdot \dfrac{1}{2}\left[\mathrm{sen}\left(2\cdot \dfrac{\pi}{2}\right)-\mathrm{sen}(2\cdot 0)\right]\\\\\\ =18\cdot \dfrac{\pi}{2}+9\left[\mathrm{sen}(2\pi)-\mathrm{sen}(0)\right]\\\\\\ =\dfrac{18\pi}{2}+0$

     $=9\pi~~\mathsf{u.a.}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)