Question

Use uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x + y + z = 4

Answer 1

O volume do tetraedro é 16/3 unidades de volume.

Da equação do plano 2x+y+z=4, temos que os pontos de interseção dos tetraedros com os eixos ordenados serão:

x = 0 e y = 0: z = 4

y = 0 e z = 0: x = 2

x = 0 e z = 0: y = 4

Variando x de 0 a 2, quando z = 0, teremos que a equação que passa por (2,0,0) e (0,4,0) é:

2x+y=4

y = 4 - 2x

Para z, basta isolar a equação: z = 4 - 2x - y, assim, montamos a integral com os limites 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 - 2x e 0 ≤ z ≤ 4 - 2x - y. Resolvendo-a, obtemos:

$V = \int\limits^2_0 \int\limits^{4-2x}_0 \int\limits^{4-2x-y}_0 \, dzdydx\\\\V = \int\limits^2_0 \int\limits^{4-2x}_0 {4-2x-y} \, dydx\\\\V = \int\limits^2_0 {\left(4y-2xy-\dfrac{y^2}{2}\right)|_0^{4-2x}} \, dx = \int\limits^2_0 {\left(4(4-2x)-2x(4-2x)-\dfrac{(4-2x)^2}{2}\right)|_0^{4-2x}} \, dx\\V = \int\limits^2_0 {\left(16-8x-8x+4x^2)-(8-8x+2x^2)\right)} \, dx\\\\V = \int\limits^2_0 {\left(8-8x+2x^2)\right)} \, dx\\\\V = \left(8x-4x^2+\dfrac{2x^3}{3}\right)|_0^2 = 16 - 16 + \dfrac{16}{3}$

$V = \dfrac{16}{3}$