Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 4 meses atrás

use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido delimitado pelo plano z=2-x-y (0,1) (0,2)

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meios dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que o volume do sólido entre estas superfícies é igual a $\boxed{\bf V = 1 \: u.v}$

Explicação

Temos as seguintes informações:

$\underbrace{{ \bf z = 2 - x - y}}_{plano} \: \: e\: \: \underbrace{{ \bf R = [0,1] \times [0,2]}}_{ ret \hat{a}ngulo}$

O objetivo é determinarmos o volume entre estas superfícies acima.

Volume:

Para calcular o volume deste sólido, podemos tanto usar a integração dupla, como a integração tripla, só que de acordo com a questão, devemos montar uma integral dupla dada pela relação:

$\: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\: \:\:\:\:\boxed{\bf V = \int\int_R f(x,y) dA} \\$

Onde R é a região de integração e f(x,y) a função a qual queremos o volume em um dado intervalo.

Retângulo de integração:

Como foi mencionado anteriormente, as integrais devem ser montadas sobre uma região R, que é basicamente as delimitações do sólido.

Se plotarmos um gráfico, iremos notar que o retângulo $\bf R = [0,1]\times[0,2]$ é quem faz este papel, ou seja, retângulo de integração.

Organizado este retângulo de uma forma mais simples para o entendimento, temos:

$\bf R = \{(x,y)\in \mathbb{R^2}/ \: 0 \leqslant x \leqslant 1, \: 0 \leqslant y \leqslant 2\} \\$

Vale ressaltarmos sobre o Teorema de Fubini, que nos diz que em integrações de regiões retangulares, a ordem de integração não interfere no resultado. Matematicamente:

$\boxed{\bf \int\int_R f(x,y)dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f(x,y) dydx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b}f(x,y) dxdy} \\$

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Como fizemos toda a introdução, vamos agora partir para o cálculo do volume em si. Vale ressaltar que a função $\bf f(x,y)$ é basicamente o plano fornecido, uma vez que $\bf f(x,y) = z$ . Logo:

$\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}2 - x- y\:dxdy\:\:\to\:\: \boxed{ \blue{\int_{0}^{2} } \boxed{ \red{ \int_{0}^{1}2 - x - y \: dx}}\blue{dy}}\\$

Agora basta calcular cada uma das integrais separadamente.

Primeiro vamos resolver a integral vermelha e em seguida substituir o valor na integral azul.

$\int_{0}^{1}2 - x - y \: dx = \int_{0}^{1}2 \: dx - \int_{0}^{1}x \: dx - \int_{0}^{1}y \: dx \\$

Lembrando que tudo que não for x, deve ser considerado variável, quando integramos em relação a x. Então:

$\int_{0}^{1}2 \: dx - \int_{0 }^{1}x - \int_{0}^{1}y = \left[ 2 x - \frac{x {}^{2} }{2} - xy \right] \bigg|_{0}^{1} \\ \\ 2 - \frac{1}{2} - 1.y \: \: \to \: \: \frac{3}{2} - y$

Substituindo este resultado na segunda integral:

$\int_{0}^{2} \frac{3}{2} - y \: dy = \frac{3}{2} \int_{0}^{2}dy - \int_{0}^{2}y \: dy \\ \\ \left[ \frac{3y}{2} - \frac{y {}^{2} }{2} \right] _{0}^{2} = \frac{6}{2} - \frac{2 {}^{2} }{2} \: \: \to \: \: 3- 2 \: \to \: \boxed{\bf 1 \: u.v}$