Use o Teorema de Stokes para calcular
F.dr, onde F(x,y,z)=xyi + 2zj +3yk e C a curva de intersecção do plano x+z=5 com o cilindro x^2+y^2=9
deividsilva784:
Falta o sentido de orientação da curva.
Soluções para a tarefa
Respondido por
4
Achando a parametrização da curva.
R(v,u) = vCos(u)i + vSen(u)j + (5-vCosu)k
x = vcosu
y = vsenu
z = 5-vcosu
-------------------------
Com,
0 ≤ u ≤ 2π
0 ≤ v ≤ 3
-------------------------
Achando o rotacional de "F"
Rot(f) = ( dh/dy - dg/dz)i + ( df/dz - dh/dx)j + ( dg/dx - df/dy)k
Onde,
f = xy
g = 2z
h = 3y
------------------------
Então:
Rot(f) = (3 - 2)i + ( 0 - 0)j + (0 - x)k
Rot(f) = 1i +0j - xk
-----------------------
A integral de Stokes é:
∫∫ Rot(f).nds
σ
Como,
Nossa integral se reduz á:
∫∫ Rot(f).(dR/du X dR/dv)dvdu
σ
Achando dR/du e dR/dv
dR/du = (-vSenu)i +(vCosu)j + (vSenu)k
dR/dv = (Cosu)i + (Senu)j + (-Cosu)k
----------------------------------
Calculando o determinante:
dR/du X dR/dv = -vi + 0j -vk, sentido positivo = vi+0j+vk
-------------------------------------------------------
Mudando a componente x do rotacional:
Rot(f) = 1i +0j -xk
Rot(f) = 1i +0j - vCosuk
Então, o produto escalar de Rot(f).nds será:
(1, 0, -vCosu).(v, 0 , v) =
= v -v²Cosu
------------------------------
Logo,
R(v,u) = vCos(u)i + vSen(u)j + (5-vCosu)k
x = vcosu
y = vsenu
z = 5-vcosu
-------------------------
Com,
0 ≤ u ≤ 2π
0 ≤ v ≤ 3
-------------------------
Achando o rotacional de "F"
Rot(f) = ( dh/dy - dg/dz)i + ( df/dz - dh/dx)j + ( dg/dx - df/dy)k
Onde,
f = xy
g = 2z
h = 3y
------------------------
Então:
Rot(f) = (3 - 2)i + ( 0 - 0)j + (0 - x)k
Rot(f) = 1i +0j - xk
-----------------------
A integral de Stokes é:
∫∫ Rot(f).nds
σ
Como,
Nossa integral se reduz á:
∫∫ Rot(f).(dR/du X dR/dv)dvdu
σ
Achando dR/du e dR/dv
dR/du = (-vSenu)i +(vCosu)j + (vSenu)k
dR/dv = (Cosu)i + (Senu)j + (-Cosu)k
----------------------------------
Calculando o determinante:
dR/du X dR/dv = -vi + 0j -vk, sentido positivo = vi+0j+vk
-------------------------------------------------------
Mudando a componente x do rotacional:
Rot(f) = 1i +0j -xk
Rot(f) = 1i +0j - vCosuk
Então, o produto escalar de Rot(f).nds será:
(1, 0, -vCosu).(v, 0 , v) =
= v -v²Cosu
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Logo,
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