Question

Use o critério da comparação para determinar se as séries dadas são convergentes ou divergentes.

$\large\displaystyle\begin{aligned}( A )\ \sum _{n=1}^{\infty} \ \frac{5}{2+3^n}\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}( B )\ \sum _{n=2}^{\infty} \ \frac{1}{n-\sqrt{n}}\end{aligned} }$


Obrigado.

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Usar o critério da comparação para verificar se as séries dadas convergem ou divergem. Antes de iniciarmos, devemos saber que o critério da comparação nos diz que dadas as séries:

$\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;1}^{\infty}a_n}~;~\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;1}^{\infty}b_n}~\to a_n~;~b_n~>0$

Se:

$\sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{a_n}{b_n}}>0$

Caso o limite acima se verifique, dizemos que ambas as séries convergem ou ambas divergem.

Letra A :

$\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;1}^{\infty}\;\dfrac{5}{2+3^n}}$

O primeiro passo a se seguir é encontrarmos a série de comparação, $\sf{b_n}$. Essa série, por sua vez, pode ser encontrada quando tendemos $\sf{a_n}$ para o infinito. A medida que n tende ao infinito, o 2 do denominador tende para 0, ou seja, teremos a seguinte série $\sf{b^n}$ :

$\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;1}^{\infty}\;\dfrac{5}{3^n}}$

Agora vamos verificar a convergência ou divergência dessa série encontrada. Para tanto, usaremos o critério da série geométrica:

$5\cdot \sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;1}^{\infty}\;\dfrac{1}{3^n}}=\dfrac{1}{3^1}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\cdots+\\ \\\\ q=\dfrac{1}{3}<1~\to~Converge!$

Descobrimos pelo teste da série geométrica que $\sf{b_n}$ converge. Agora vamos verificar o limite dado no início:

$\sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{a_n}{b_n}}>0\\ \\ \\ \sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{\dfrac{5}{2+3^n}}{\dfrac{5}{3^n}}}=\sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{\diagup\!\!\!\!5}{2+3^n}\cdot{\dfrac{3^n}{\diagup\!\!\!\!5}}}\\ \\ \\ \sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{3^n}{2+3^n}\to Dividir~tudo~por~3^n}\\ \\ \\ \sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{1}{\dfrac{2}{3^n}+1}}=1>0$

Como verificou-se que o limite inicial é maior do que 0, e que $\sf{b^n}$ converge, podemos dizer que a série dada também converge.

Letra B :

$\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;2}^{\infty}\;\dfrac{1}{n-\sqrt{n}}}$

De forma análoga a Letra A, devemos encontrar a série de comparação, $\sf{b_n}$. Essa série, por sua vez, pode ser encontrada quando tendemos $\sf{a_n}$ para o infinito. A medida que n tende ao infinito, o $\sf{\sqrt{n}}$ do denominador tende para 0, ou seja, teremos a seguinte série $\sf{b^n}$ :

$\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;2}^{\infty}\;\dfrac{1}{n}}$

Agora vamos verificar a convergência ou divergência dessa série encontrada. Para tanto, usaremos o critério de Cauchy, que nos diz :

$\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;1}^{\infty}\;a_n}~converge~<=>~\forall~\epsilon>0~\exists~N\; ;|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\epsilon,\forall n>N~e~p\ge1$

Tomemos $\sf{S_{2n}-S_n}$ :

$\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;1}^{2n}\;\dfrac{1}{n}-\displaystyle\sum_{n\;=\;1}^{n}\;\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\ge \dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{2^n}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}$

Portanto, não encontramos o número N que obedece o critério de Cauchy e concluímos que a série $\sf{b_n}$ diverge.

Agora vamos verificar o limite dado inicialmente para concluirmos a questão:

$\sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{a_n}{b_n}}>0\\ \\ \\ \sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{\dfrac{1}{n-\sqrt{n}}}{\dfrac{1}{n}}}=\sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{\diagup\!\!\!\!1}{n-\sqrt{n}}\cdot{\dfrac{n}{\diagup\!\!\!\!1}}}\\ \\ \\ \sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{n}{n-\sqrt{n}}\to Fatora~n-\sqrt{n}~e~simplifica}\\ \\ \\ \sf{\displaystyle\lim_{n\;\to\; \infty}\;\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}}=1>0$

Uma vez que verificou-se que o limite inicial é maior do que 0, e que $\sf{b^n}$ diverge, podemos dizer que a série dada também diverge.

Ou seja, a série da Letra A converge, enquanto a Letra B diverge!

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!

Answer 2

Letra A:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\ \sum _{n=1}^{\infty} \: \: \ \frac{5}{2+3^n}\end{aligned}$

$\frac{5}{2 + 3^{n} } \leqslant \frac{5}{3 {}^{n} }$

Dado que $\large\displaystyle\begin{aligned}\ \sum _{n=1}^{\infty} \ \frac{5}{3^n}\end{aligned}$ converge, a série dada também converge.

Portanto, Letra A é convergente.

Letra B:

Para a Letra B, usaremos o chamado "Teste Série-p":

A série dada abaixo é uma série-p com o expoente p=1:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\ \sum _{n=2}^{\infty} \ \frac{1}{n-\sqrt{n}}\end{aligned} }$

$\sf{\displaystyle\sum_{n\;=\;2}^{\infty}\;\dfrac{1}{n}} \\ \\ p = 1$

Dado 0 < p ≤ 1, a série dada diverge.

Portanto, Letra B é divergente.

Bons estudos!