Matemática, perguntado por chicochaveirolrv, 9 meses atrás

Use: log 2 = ,0 30 , log3 = ,0 50, log5 = ,0 70 e log e =0,43
a)log2^x=20
b)e^x=12
c)18^x=e
d)(2*e)^x=18

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Considerando que:

log (2) = 0,30
log (3) = 0,50
(log (5) = 0,70 --- este valor não foi necessário.)
log (e) = 0,43

obs.: só lembrando que todos estão na base 10.

$~~$

Assim vamos determinar o valor de x nas equações abaixo. Para isso vamos fazer uso de algumas propriedades em que estarei explicando no decorrer da resolução.

$~~$

Letra a)

$\begin{array}{l}\sf log~(2^x)=20\end{array}$

Pela propriedade: log (aᵇ) ⇔ b * log (a), passamos o expoente multiplicando:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot log~(2)=20\\\\\sf x=\dfrac{20}{log~(2)}\\\\\sf x=\dfrac{20}{0,30}\\\\\!\boxed{\sf x\approx66,66}\end{array}$

$~~$

Letra b)

$\begin{array}{l}\sf e^x=12 \end{array}$

Aqui precisamos aplicar logaritmo em ambos os membros:

$\begin{array}{l}\sf log~(e^x)=log~(12)\end{array}$

Pela propriedade: log (aᵇ) ⇔ b * log (a), passamos o expoente multiplicando:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot log~(e)=log~(12)\end{array}$

Pensando mais pra frente, podemos decompor 12 em fatores primos:

12 = 2*2*3 = 2² * 3, assim:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot log~(e)=log~(2^2\cdot3)\end{array}$

Pela propriedade: log (a * b) ⇔ log (a) + log (b), transformamos o produto numa soma de logaritmos:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot log~(e)=log~(2^2)+log~(3)\\\\\sf x\cdot log~(e)=2\cdot log~(2)+log~(3)\\\\\sf x\cdot log~(e)=2\cdot0,30+0,50\\\\\sf x\cdot log~(e)=0,60+0,50\\\\\sf x\cdot log~(e)=1,1\\\\\sf x=\dfrac{1,1}{log~(e)}\\\\\sf x=\dfrac{1,1}{0,43}\\\\\!\boxed{\sf x\approx2,55}\end{array}$

$~~$

Letra c)

$\begin{array}{l}\sf18^x=e\end{array}$

Aplicando logaritmo em ambos os membros:

$\begin{array}{l}\sf log~(18^x)=log~(e)\end{array}$

Pela propriedade: log (aᵇ) ⇔ b * log (a), passamos o expoente multiplicando:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot log~(18)=log~(e)\\\\\sf x\cdot log~(18)=0,43\end{array}$

Decompondo 18 em fatores primos:

18 = 2*3*3 = 2 * 3², assim:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot log~(2\cdot3^2)=0,43\end{array}$

Pela propriedade: log (a * b) ⇔ log (a) + log (b), transformamos o produto numa soma de logaritmos:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot[log~(2)+log~(3^2)]=0,43\\\\\sf x\cdot[log~(2)+2\cdot log~(3)]=0,43\\\\\sf x\cdot[0,30+2\cdot0,50]=0,43\\\\\sf x\cdot[0,30+1]=0,43\\\\\sf x\cdot1,3=0,43\\\\\sf x=\dfrac{0,43}{1,3}\\\\\!\boxed{\sf x\approx0,33}\end{array}$

$~~$

Letra d)

$\begin{array}{l}\sf(2\cdot e)^x=18\end{array}$

Aplicando logaritmo em ambos os membros:

$\begin{array}{l}\sf log~((2\cdot e)^x)=log~(18)\end{array}$

Pela propriedade: log (aᵇ) ⇔ b * log (a), passamos o expoente multiplicando:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot log~(2\cdot e)=log~(18)\end{array}$

Já vimos na letra c), que log (18) = 1,3 , então sem perder tempo:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot log~(2\cdot e)=1,3\end{array}$

Pela propriedade: log (a * b) ⇔ log (a) + log (b), transformamos o produto numa soma de logaritmos:

$\begin{array}{l}\sf x\cdot[log~(2)+log~(e)]=1,3\\\\\sf x\cdot[0,30+0,43]=1,3\\\\\sf x\cdot0,73=1,3\\\\\sf x=\dfrac{1,3}{0,73}\\\\\!\boxed{\sf x\approx1,78}\end{array}$