Question

Use integração por partes para calcular as integrais abaixo:

Answer 1

                             Integração por partes:

                  $\boxed{\int\limits {f(x).g'(x) } \, dx = f(x).g(x) -\int\limits {g(x).f'(x)} \, dx }$

Mais conhecida como:

                                  $\boxed{\int\limits {u} \, dv= u.v-\int\limits {v} \, du }$

                                                                                                                                       

$Letra \,A \,\,vamos :$

                                 $\boxed{\int\limits {x.cos(\frac{x}{2} )} \, dx =?}$

suponha que :

$f(x)= x$    e   $g'(x)= cos(\frac{x}{2} )$,  Então $f'(x) =1$  e  $g(x)=2.sen(\frac{x}{2} )$

, assim utilizando a formula da integração por partes, obtemos:

$\int\limits {xcos(\frac{x}{2}) } \, dx =\boxed{x.2.sen(\frac{x}{2} )- \int\limits {2.sen(\frac{x}{2}).1. } \, dx }$

Vamos resolver essa integral.

$\int\limits {2.sen(\frac{x}{2}).1. } \, dx =2.\int\limits {sen(\frac{x}{2} )} \, dx = 2. -2 .cos(\frac{x}{2} )+C = \boxed{-4.cos(\frac{x}{2} )+C}$

Logo teremos:

$x.2.sen(\frac{x}{2} )- \int\limits {2.sen(\frac{x}{2}).1. } \, dx = 2.x.sen(\frac{x}{2} ) -(-4.cos(\frac{x}{2} ))+C =$

Resposta:

$2.x.sen(\frac{x}{2} ) +4.cos(\frac{x}{2} )+C$  com  C ∈ R

================================================================

Letra B vou ligar pra essa Bianca.

B)  

                             $\boxed{\int\limits {x^2.ln(2x)} \, dx }$

suponha que

 $f(x) = x^2$  e  $g'(x) = ln(2x)$ , então $f'(x) = 2x$  e  $g(x) =x\ln \left(2x\right)-x$

, assim utilizando a formula da integração por partes, obtemos:

$\int\limits {x^2.ln(2x)} \, dx = x^{2} . x\ln \left(2x\right)-x-\int\limits {x.ln(2x)-x.2x.} \, dx$

Vamos resolver:

                        $\boxed{\int\limits {x.ln(2x)-x.2x.} \, dx }$

=      $\int\limits {x.ln(2x)-x.2x.} \, dx =\int\limits {x.ln(2x)\,dx-\int\limits{2x^2} \, dx }$

Vamos resolver separadamente, obtemos:

$\int\limits {2x^2} \, dx = 2\int\limits {x^2} \, dx =\boxed{2.\frac{x^3}{3} +C}$

$\int\limits {x.ln(2x)} \, dx =\boxed{x.ln(2x)-2x+C}$

Logo:

$\boxed{\int\limits {x.ln(2x)-x.2x.} \, dx=\boxed{x.ln(2x)-2x-2.\frac{x^3}{3} +C} }$

Logo:

$\int\limits {x^2.ln(2x)} \, dx = x^{2} . x\ln \left(2x\right)-x-\int\limits {x.ln(2x)-x.2x.} \, dx =$

Resposta:

$\boxed{\boxed{x^3.ln(2x)-x-x.ln(2x)-2x-2.\frac{x^3}{3} +C}}$  , C ∈ R

==================================================================

c)

                                   $\boxed{\int\limits {x.e^{3x}} \, dx }$

suponha que  $f(x) = x$  e  $g'(x) = e^{3x}$ ,  então  $f'(x)= 1$  e  $g(x) = \frac{1}{3} .e^{3x}$

assim utilizando a formula da integração por partes, obtemos:

$\int\limits {x.e^{3x}} \, dx = x.\frac{e^{3x}}{3} -\int\limits {\frac{e^{3x}}{3} .1} \, dx$

Vamos resolver:

$\int\limits {\frac{e^{3x}}{3} .1.} \, dx = \frac{1}{3} .\int\limits {e^{3x}} \, dx =\frac{1}{3} .\frac{1}{3} .e^{3x}+C =\boxed{\frac{1}{9} .e^{3x}+C}$

Logo:

$\int\limits {x.e^{3x}} \, dx = x.\frac{e^{3x}}{3} -\int\limits {\frac{e^{3x}}{3} .1} \, dx=\boxed{x.\frac{e^{3x}}{3} -\frac{1}{9} .e^{3x}+C}$

Resposta:

$\boxed{\boxed{x.\frac{e^{3x}}{3} -\frac{1}{9} .e^{3x}+C}}$ , C ∈ R

=================================================================

d)

                              $\boxed{\int\limits {ln(5x).1} \, dx }$

Suponha que $f(x) = ln(5x)$  e  $g'(x) = 1.dx$  então  $f'(x) = \frac{1}{x}$  e  $g(x) = x$

assim utilizando a formula da integração por partes, obtemos:

$\int\limits {ln(5x).1} \, dx = x.ln(5x)-\int\limits {x.\frac{1}{x} } \, dx$

Vamos resolver:

$\int\limits {x.\frac{1}{x} } \, dx = \int\limits {1.} \, dx = \int\limits {} \, dx =\boxed{x}$

logo:

$\int\limits {ln(5x).1} \, dx = x.ln(5x)-\int\limits {x.\frac{1}{x} } \, dx = \boxed{x.ln(5x)-x+C}$

Resposta:

$\boxed{\boxed{x.ln(5x)-x+C}}$, C ∈ R

==================================================================