Question

Use indução matemática para provar que a afirmação é verdadeira para todo número natural n ≥ 1.

1 + 4 + 9 + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

Alguem poderia me ajudar?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

I) Para n = 1 temos 1 = (1)(2)(3)/6 = 1. ok!

II) Suponhamos que valha para um certo n = k, com k > 1.

$1 + 4 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \\1 +4 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2\\ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 =  \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +\frac{6(k+1)^2}{6} \\\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +\frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{2k^3 + k^2 + 2k^2 + k + 6k^2 + 12k + 6}{6}  = \frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}\\ (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1) = 2(k+1)^3 + (k+1)^2 + 2(k+1)^2 + (k+1) = 2k^3 + 6k^2 + 6k +2 + k^2 + 2k +1 + 2k^2 + 4k + 2 + k + 1 = 2k^3 + 9k^2 + 13k + 6$

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$1 + 4 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6} = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$