Question

use diferenciais para calcular o aumento do raio de uma esfera para que a área de sua superfície quente 10%.

Answer 1

A área $A$ de uma superfície superfície esférica de raio $r$ é dada por

$A=\dfrac{4\pi r^{2}}{3}\\ \\ dA=\dfrac{2\cdot 4\pi r\,dr}{3}\\ \\ dA=\dfrac{8\pi r\,dr}{3}$

A variação da área da superfície deve ser igual a $10\%$ da superfície inicial:

$10\%\cdot A=\Delta A\simeq dA\\ \\ \dfrac{10}{100}\cdot \dfrac{4\pi r^{2}}{3}\simeq \dfrac{8\pi r\,dr}{3}\\ \\ \dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{4\pi r^{2}}{3}\simeq \dfrac{8\pi r\,dr}{3}\;\;\rightarrow\;\;\times\;30\\ \\ 4\pi r^{2}\simeq 80\pi r\,dr\\ \\ dr\simeq \dfrac{4\pi r^{2}}{80\pi r}\\ \\ dr \simeq \dfrac{r}{20}\\ \\ dr \simeq 5\%\cdot r\\ \\ \Delta r=5\% \cdot r$

O raio deve aumentar em aproximadamente $5\%$, para que a superfície aumente em $10\%$.