Matemática, perguntado por cristallaurinho, 7 meses atrás

Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à hipérbole

\frac{x^{2} }{16} - \frac{y^{2} }{9} = 1 no ponto (−5,\frac{9}{4}).

a. y=-\frac{45}{16}x-4\\\\b. y= -\frac{5}{4}x - 4\\\\c. y= -\frac{5}{4} \\\\d. y= -\frac{5}{4} x\\

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos a seguinte equação:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \bullet \:  \: \frac{ x^{2} }{16} - \frac{y^{2} }{9} = 1  \:  \: \bullet \\

Primeiro vamos organizar essa equação de forma a deixá-la em uma formato semelhante a x² - y² ... = 0. Para isso devemos realizar o MMC:

 \frac{x {}^{2} }{16}  -  \frac{y {}^{2} }{9}  = 1 \longrightarrow \frac{9x {}^{2}  - 16y {}^{2} }{144} = 1 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \\  \\ 9x {}^{2}   - 16y {}^{2}  = 1.144 \to 9x {}^{2}  - 16y {}^{2}   - 144 = 0

Agora vamos derivar implicitamente a equação, ou seja, sempre que derivarmos o "y", devemos multiplicar pela derivada do mesmo, já que y é uma função de "x", então usamos a regra da cadeia. Aplicando a derivada:

 \frac{d}{dx} 9x {}^{2}  -  \frac{d}{dx} 16y {}^{2}  -  \frac{d}{dx} 144 =  \frac{d}{dx} 0 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\   \\  18x - 32y. \frac{dy}{dx}  - 0 = 0  \longrightarrow32y. \frac{dy}{dx} = 18x \\  \\  \frac{dy}{dx}   =  \frac{18x}{32y} \longrightarrow  \frac{dy}{dx}  =  \frac{9x}{16y}

Pronto, encontramos a derivada dessa equação, agora vamos substituir o valor do ponto em que a reta tangente passa, fazendo isso vamos descobrir o valor numérico do coeficiente angular, já que a derivada não é nada mais nada menos que o coeficiente angular da reta tangente:

 \frac{dy}{dx}  =  \frac{9x}{16y} \longrightarrow \frac{dy}{dx}  =  \frac{9.( - 5)}{16. \frac{9}{4} } \longrightarrow \frac{dy}{dx}  =  \frac{ - 45}{ 36}  \\  \\  \frac{dy}{dx}  =    - \frac{15}{12} \longrightarrow \frac{dy}{dx}  =  -  \frac{5}{4}

Para finalizar, basta pegar a equação fundamental da reta e substituir esses coeficiente angular dy/dx e o ponto em que ela passa:

y - y_0 = m.(x - x_0) \\ y -  \frac{9}{4}  =  -  \frac{5}{4} .(x + 5) \\ y -  \frac{9}{4}  =  -  \frac{5x}{4}   -  \frac{25}{4 }  \\ y =  -  \frac{5x}{4}  -  \frac{25}{4}  +  \frac{9}{4}  \\ y =  -  \frac{5x}{4}  -  \frac{16}{4}  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\ \boxed{  y=  -  \frac{5x}{4}  - 4}

Espero ter ajudado


cristallaurinho: Muito obrigada!! Ajudou muito.
Nefertitii: Por nada
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