Question

Use Coordenadas Cilíndricas para encontrar o volume da região sólida contida abaixo do cone z = sqrt(4x ^ 2 + 4y ^ 2) acima do plano ry e dentro do cilindro x ^ 2 + y ^ 2 = 16

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Integral Tripla em Coordenadas Cilíndricas, concluímos que o volume da região é  256π/3 u.v.

☛     Seja  $U$  uma região no espaço xyz. E seja  $f$  uma função definida por  $f(x,y,z)=1$ . O volume  $V$ da região  $U$ é

$\boxed{V=\iiint_{U} \ dV}$

➜     O primeiro passo é esboçar a região de integração. Observe a Figura 1 em anexo.

➜     O segundo passo é projetar a região no plano xy. Quando  $x^2+y^2=16$ , temos  $z=\sqrt{4(x^2+y^2)}=\sqrt{4\cdot 16}=8$ . As superfícies interceptam-se no plano  $z=8$ . E a projeção ortogonal da região é  $x^2+y^2=16$ , que é a equação de um círculo centrado na origem e raio 4( Figura 2).

➜     O terceiro passo é usar as Coordenadas Cilíndricas. A transformação é:

$T=\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\z=z\\x^{2} +y^{2} =r^{2}\end{cases}$

♦︎     O Jacobiano da transformação é  $\boxed{J=r}$

♦︎     Assim,

1. A equação  $z=\sqrt{4(x^2+y^2)}$  converte-se em  $z=\sqrt{4r^2}\Longrightarrow\boxed{z=2r}$ ;
2. A equação  $x^2+y^2=16$  converte-se em  $r^2=16\Longrightarrow \boxed{r=4}$

➜     Portanto, a região  $U$  se deforma e vira a nova região  $U^*$ , definida por:

$\boxed{U^{*} =\{( r,\theta ,z) |0\leqslant z\leqslant 2r,0\leqslant r\leqslant 4,0 < \theta < 2\pi \ \}}$

∴     O volume da região

$\begin{array}{l}\displaystyle=\int\limits _{\theta =0}^{2\pi }\int\limits _{r=0}^{4} 2r\ r drd\theta \\\\\displaystyle=\frac{2}{3}\int\limits _{0}^{2\pi } r^{3}\Bigl|_{0}^{4} d\theta \\\\\displaystyle=\frac{128}{3}[ \theta ]_{0}^{2\pi }\\\\=\boxed{\boxed{\frac{256\pi }{3}}}\end{array}$

∴     O volume da região é  256π/3 u.v.   ✍️

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