Question

Use as regras de produtos notáveis e as propriedades operatórias dos radicais para resolver a expressão a seguir.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, AnaSousa, que aqui estamos entendendo que a questão esteja escrita da seguinte forma (vamos chamar esta expressão de um "k", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa):

k = {[√(2x) + √(2y)]² - 4√(xy)} / {[√(x)+√(y)]*[√(x)-√(y)] + 2y}

Veja: no numerador temos o quadrado da soma de dois números (a+b) = a² + 2ab + b²; e no denominador, temos o produto pela diferença entre dois números: (a+b)*(a-b)  = a² - b².
Assim, aplicando essas regras, teremos:

k = {√(2x)² + 2*√(2x)*√(2y) + √(2y)² - 4√(xy)} = {√(x²) - √(y²) + 2y} ---- desenvolvendo, teremos:

k = {2x + 2√(2x*2y) + 2y - 4√(xy)} = {x - y + 2y} ---- note que, no denominador: -y+2y = y. Assim, ficaremos com:
 
k = {2x + 2√(4xy) + 2y - 4√(xy)} / {x + y} ---- note que 2√(4xy) = 2√(2²xy). Assim, ficaremos com:

k = {2x + 2√(2²xy) + 2y - 4√(xy)} / {x + y} --- veja que o "2", por estar ao quadrado, ele sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos apenas assim:

k = {2x + 2*2√(xy) +2y - 4√(xy)} / {x + y} ---- desenvolvendo, temos:
k = {2x+ 4√(xy) + 2y - 4√(xy)} / {x + y} ---- agora vamos ordenar o numerador, ficando assim:

k = {2x +2y + 4√(xy) - 4√(xy)} / {x + y} --- reduzindo os termos semelhantes [note que "4√(xy)" se anula com  "-4√(xy)], ficaremos apenas com:

k = {2x+ 2y} / {x + y} --- ou apenas, o que é a mesma coisa:
k = (2x + 2y) / (x + y) ---- no numerador, vamos colocar "2" em evidência, ficando:

k = 2*(x + y) / (x + y) --- simplificando-se numerador e denominador por (x + y), iremos ficar apenas com:

k = 2 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o resultado a que se chegou após fazermos todas as simplificações possíveis na expressão original da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.