Question

Use as propriedade necessárias da congruência e calcule o resto.

c)7^30 por 5

Answer 1

Observe que

7² = 49
7² = 50 − 1
7² = 5 ∙ 10 − 1
7² ≡ − 1 (mod 5)

Elevando os dois lados a 15,

(7²)¹⁵ ≡ (− 1)¹⁵ (mod 5)
7²∙¹⁵ ≡ (− 1)¹⁵ (mod 5)
7³⁰ ≡ − 1 (mod 5)

Como queremos o resto da divisão, somamos o módulo no lado direito. Assim:

7³⁰ ≡ − 1 + 5 (mod 5)
7³⁰ ≡ 4 (mod 5)

O resto da divisão de 7³⁰ por 5 é 4.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Pelo Pequeno Teorema de Fermat:

$\sf 7^{4}\equiv4\pmod{5}$

Logo:

$\sf 7^{30}\equiv7^{28}\cdot7^2\pmod{5}$

$\sf 7^{30}\equiv(7^4)^7\cdot49\pmod{5}$

$\sf 7^{30}\equiv1^7\cdot49\pmod{5}$

$\sf 7^{30}\equiv1\cdot49\pmod{5}$

$\sf 7^{30}\equiv49\pmod{5}$

$\sf 7^{30}\equiv4\pmod{5}$

O resto é 4