Question

Use a técnica de indução para provar a sentença abaixo:​

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que vamos realizar, podemos mostrar que a fórmula $\sf 4^n-1$ é divisível por 3, portanto é verdadeira ∀ n ∈ N, ou seja, é verdadeira para todos os n inteiros não negativos.

Queremos provar que a expressão $\sf 4^n-1$ é divisível por 3 para qualquer número que pertença ao conjunto dos inteiros, para realizar esta prova devemos usar o método de indução matemática.

Para provar esta fórmula pelo princípio da indução matemática devemos levar em conta nosso primeiro passo isso é encontrar uma base de indução. Veremos que a preposição é cumprida para um valor específico de n, neste caso vamos assumir o menor valor que n pode ter e esse menor valor é 1 então vamos mostrar que a fórmula para n = 1 é cumprida.

$\sf 4^1-1,~ \'e~divis\'ivel~por~3? \\\\ \sf 4-1,~\'e~divis\'ivel~por~3?\\\\ \sf \boxed{\sf 3,~ \'e~divis\'ivel~por~3}~\checkmark$

Vemos que nossa base indutiva está cumprida, então o que segue é nossa hipótese indutiva, para isso vamos supor que nossa fórmula está cumprida para n ∈ N fixo.

$\sf 4^n-1,~ \'e~divis\'ivel~por~3$

Se assumirmos que esta fórmula é verdadeira para um valor fixo de n, então devemos ver se é verdadeira para n+1, então o que vamos provar é esta expressão se for divisível por 3.

$\sf 4^{n+1}-1,~ \'e~divis\'ivel~por~3?$

Vamos provar que essa nova expressão é divisível por 3, para fazer isso vamos usar nossa hipótese indutiva, mas para usar essa hipótese indutiva com nossa expressão temos que simplificar essa expressão aplicando algumas propriedades matemáticas. Para simplificar esta expressão vamos aplicar a seguinte propriedade como auxílio: $\boxed{\bf a^{m+n}=a^m\cdot a^n}$

• Então aplicando esta propriedade temos:

$\sf 4^n \cdot 4^1-1,~ \'e~divis\'ivel~por~3?\\\\ \sf 4^n \cdot 4 - 1, ~ \'e~divis\'ivel~por~3?$

Podemos pensar de forma simples que essa expressão agora é impossível de fatorar e por isso não podemos usar nossa hipótese indutiva, mas vamos levar em conta o número 4 que está multiplicando $\sf 4^n$, que quatros podem ser escritos como 3+1 já que 3+1 é igual a 4, então substituindo 4 pela expressão 3+1 temos a seguinte expressão:

$\sf 4^n \cdot (3+1) - 1, ~ \'e~divis\'ivel~por~3?\\\\ \sf 4^n\cdot 3+4^n - 1, ~ \'e~divis\'ivel~por~3?\\\\ \sf \underbrace{\sf\left(4^n\cdot 3\right)}_{\sf(*)}+\underbrace{\sf\left(4^n - 1\right) }_{\sf (**)},~ \'e~divis\'ivel~por~3?$

Observe as expressões (∗) e (∗∗), podemos ver que a expressão (∗∗) é idêntica à nossa expressão da nossa hipótese indutiva, por hipótese de indução a expressão (∗∗) é divisível por 3, e podemos perguntar-nos se a expressão (∗) também é divisível por 3? Podemos ver que na expressão (∗) temos $\sf 4^n\cdot 3$, esta expressão é um múltiplo de 3 já que $\sf 4^n$ está sendo multiplicado por 3, então o resultado é um múltiplo de 3.

Como a expressão (∗) e a expressão (∗∗) resultam em um múltiplo de 3, a suma entre essas duas expressões também resultará em um múltiplo de 3, portanto, mostra-se que:

$\boxed{\sf \left(4^n\cdot 3\right)+\left(4^n-1\right),~ e~divis\'ivel~por~3}~\checkmark$

Como esta fórmula é verdadeira para n = n+1, é verdadeira para qualquer valor de n que pertença ao conjunto dos números naturais.