Question

Use a regra da cadeia para calcular dz/dt na função z = x²y + xy² , onde x = 2 + t² e y = 1 − t³.

Answer 1

Pela Regra da Cadeia, temos que: $\frac{dz}{dt} =\frac{dz}{dx}. \frac{dx}{dt} +\frac{dz}{dy}. \frac{dy}{dt}$.

Sendo z = x²y + xy² e x = 2 + t² e y = 1 - t³, temos que:

$\frac{dz}{dx} = 2xy + y^2$

$\frac{dx}{dt} = 2t$

$\frac{dz}{dy} = x^2+2xy$

$\frac{dy}{dt} = -3t^2$.

Com as derivadas definidas, basta substituí-las na Regra da Cadeia:

$\frac{dz}{dt} = (2xy + y^2).2t + (x^2 + 2xy)(-3t^2)$

É importante fazermos as substituições de x e y. Sendo assim,

2xy + y² = 2(2 + t²)(1 - t³) + (1 - t³)²

2xy + y² = 2(2 - 2t³ + t² - t⁵) + 1 - 2t³ + t⁶

2xy + y² = 4 - 4t³ + 2t² - 2t⁵ + 1 - 2t³ + t⁶

2xy + y² = t⁶ -2t⁵ - 6t³ + 2t² + 5

e

x² + 2xy = (2 + t²)² + 2(2 + t²)(1 - t³)

x² + 2xy = 4 + 4t² + t⁴ + 4 - 4t³ + 2t² - 2t⁵

x² + 2xy = -2t⁵ + t⁴ - 4t³ + 6t² + 8.

Logo,

$\frac{dz}{dt} = (t^6-2t^5-6t^3+2t^2+5).2t - 3t^2(-2t^5+t^4-4t^3+6t^2+8)$

$\frac{dz}{dt} = 2t^7 - 4t^6 - 12t^4+4t^3+10t+6t^7-3t^6+12t^5-18t^4-24t^2$

$\frac{dz}{dt} = 8t^7 -7t^6 +12t^5 - 30t^4 +4t^3 - 24t^2+10t$.