Question

use a regra da cadeia para achar dz/dt ou dw/dt z=x^2+y^2+xy,x=sen t,y=e^t

Answer 1

Resposta:

Pela regra da cadeia a derivada é:

$\dfrac{dz}{dt}=sen \ 2t+e^t\cdot \cos t+2e^{2t}+e^t\cdot sen \ t$

Explicação passo a passo:

Para resolver esta questão vamos utilizar a regra da cadeia para uma função com duas variáveis por meio das derivadas parciais.

$\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\cdot \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\cdot \dfrac{dy}{dt}$

A derivada parcial de z em relação a x é:

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x+y$

A derivada de x em relação a t é:

$\dfrac{dx}{dt}=\cos t$

A derivada parcial de z em relação a y é:

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2y+x$

A derivada de x em relação a t é:

$\dfrac{dy}{dt}=e^t$

Assim,

$\dfrac{dz}{dt}=(2x+y)\cdot \cos t + (2y+x)\cdot e^t$

Substituindo x e y pelas suas respectivas funções obtemos:

$\dfrac{dz}{dt}=(2sen \ t +e^t)\cdot \cos t+(2e^t+sen \ t)\cdot e^t$

Aplicando a propriedade distributiva e simplificando temos:

$\dfrac{dz}{dt}=sen \ 2t+e^t\cdot \cos t+2e^{2t}+e^t\cdot sen \ t$