Question

Use a regra da cadeia e derive a seguinte função:

f(x) = cotg²(senx)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \cotg {}^{2} ( \sin(x))$

Podemos reescrever essa expressão como:

$f(x) = ( \cotg( \sin(x))) {}^{2}$

Note que ela é uma função composta, portanto devemos aplicar a regra da cadeia $\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$. Nomeando as funções:

$y = f(x) = u {}^{2} \: \: e \: \: u = \cotg.( \sin(x))$

Substituindo na regra da cadeia:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}u {}^{2} . \frac{d}{dx} ( \cotg( \sin(x))) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx } = 2u. ( - \csc {}^{2} ( \sin(x))) . \frac{d}{dx}( \sin(x)) \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = - 2u. \csc {}^{2} ( \sin(x)) . \cos(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Repondo a função que representa "u":

$\boxed{ \frac{dy}{dx} = - 2.( \cotg( \sin(x))). \csc {}^{2} ( \sin(x)). \cos(x)}$

Espero ter ajudado