Question

Use a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função abaixo:
$f(x) = \int\limits^x_1 { \frac{1}{t^3 + 1} } \, dt$

A resposta é $\frac{1}{x^3 + 1}$

Answer 1

teorema fundamental do calculo
sabemos que: 
$\boxed{\boxed{F(x)= \int\limits_0^x {f(t)} \, dt}} \to \boxed{\boxed{ F'(x)=f(x) }}$

então se:
$f(x)= \int\limits_{m(x)}^{h(x)} {g(t)} \, dt \\\\f(x)= G(h(x))-G(m(x))+C\\\\ f'(x)= [G(h(x))]'-[G(m(x))]' +0 \to \text{deriva usando a regra da cadeia}, \\\\ f'(x)= G'(h(x))*h'(x) - G'(m(x))*m'(x)\\\\ \text{como G'(x)=g(x)}\\\\ f'(x)= g(h(x))*h'(x)-g(m(x))*m'(x)$

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$\boxed{\boxed{f(x)= \int\limits^x_1 { \frac{1}{t^3+1} } \, dt }}$

temos: g(t)=1/(t³+1)
se G(x) é a primitiva então G'(x) = g(x)

$f(x)= \int\limits^x_1 { g(t) } \, dt\\\\f(x)= G(x)-G(1)\\\\f'(x)=G'(x)-G'(1)\\\\f'(x)=g(x)- 0 \to \text{G(1) eh uma constante entao G'(1)=0}\\\\f'(x)= \frac{1}{x^3+1}$