Question

Use a integral dupla para achar a área das seguintes questões:

1) Achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações
y = x² e y = 2x - x².

2) Calcule a área da região delimitada pela parábola y = 4x - x² e pela reta y = - x.

3) Determine a área da região delimitada pelas parábolas y= x² e y=√x.


veja anexo:

Answer 1

1)

y = x²

y = 2x - x²

Vamos achar o ponto de interseção:

x² = 2x -x²

x²+x²-2x = 0

2x² - 2x = 0

x² - x = 0

x(x -1) = 0

x = 0 ou  x = 1
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Como a questão quer que calcule a área no intervalo de zero a 2,

Olhando a figura é fácil notar, que teremos que calcular duas integrais.

Obs: Para x entre [0, 1]

x² ≤ 2x -x²



logo,

limites de integração:

0  ≤ x ≤ 1

x² ≤ y ≤ 2x-x² 

$\\ A = \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^ \frac{2x-x^2}{} _ \frac{x^2}{} {} \, dydx \\ \\ A = \int\limits^1_0 {} \, (2x-x^2)-(x^2)dx \\ \\ A = \int\limits^1_0 {} \, (2x-2x^2)dx \\ \\ A = 2.\int\limits^1_0 {} \, (x-x^2)dx \\ \\ A = 2.( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} )|(0,1) \\ \\ A = 2.( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) \\ \\ A = 1 - \frac{2}{3} \\ \\ A = \frac{1}{3} u.a$

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2)

y = 4x-x²
y = -x


Achando o ponto de interseção:

4x-x²= - x

x²-4x-x = 0

x² -5x = 0

x(x-5) = 0

x = 0   ou  x  = 5

Olhando a figura é fácil notar que:

0 ≤ x ≤ 5

-x ≤ y ≤ 4x - x²

logo,


$\\ A = \int\limits^5_0 {} \, \int\limits^ \frac{4x-x^2}{} _ \frac{-x}{} {} \, dydx \\ \\ A = \int\limits^5_0 {} \,(4x-x^2)-(-x)dx \\ \\ A = \int\limits^5_0 {} \,(5x-x^2)dx \\ \\ A = \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} |(0,5) \\ \\ A = \frac{5.5^2}{2} - \frac{5^3}{3} \\ \\ A = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} \\ \\ A = 125( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) \\ \\ A = \frac{125}{6} u.a$

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3)

y = x²

y = √x

Achando o ponto de interseção:

x² = √x

(x²)² = (√x)²

x⁴  =  x

x⁴ - x = 0

x(x³ - 1) = 0

x = 0   ou   x =  1
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Olhando a figura é fácil notar que:


0 ≤ x ≤ 1

x² ≤ y ≤ √x

logo,


$\\ A = \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^ \frac{ \sqrt{x} }{} _ \frac{x^2}{} {} \, 1dydx \\ \\ A = \int\limits^1_0 {} \,( \sqrt{x} -x^2)dx \\ \\ A = \int\limits^1_0 {} \,(x^ \frac{1}{2} -x^2)dx \\ \\ A = \frac{x^ \frac{1}{2} ^+^1}{\frac{1}{2} ^+^1} - \frac{x^3}{3}|(0,1) \\ \\ A = \frac{x^ \frac{3}{2} }{ \frac{3}{2} } -\frac{x^3}{3}|(0,1) \\ \\ A = \frac{2 \sqrt{x^3} }{3} -\frac{x^3}{3}|(0,1) \\ \\ A = \frac{2 \sqrt{1^3} }{3} -\frac{1^3}{3} = \frac{1}{3} u.a$