Use a integral definida para encontrar a área da superfície da esfera de raio R. Dica: Encontre a função cujo gráfico e a curva que forma a esfera após a rotação em torno do eixo x. Use também a simetria da esfera com respeito ao eixo y.
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A área da superfície da esfera de raio r é A(r) = 4πr².
Use a integral definida para encontrar a área da superfície da esfera de raio r.
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- Observe a figura anexa e considere um anel na superfície da esfera. Esse anel terá um raio (x) que depende do raio (r) da esfera e do ângulo θ. Sendo dθ infinitesimal x é obtido por:
x = r ⋅ cos (θ) ①
- A largura desse anel, sendo de comprimento infinitesimal pode ser considerado igual ao comprimento do arco:
ℓ = r ⋅ dθ
- O perímetro do anel, de largura infinitesimal, é obtido por:
P(x) = 2π ⋅ x ②
- Substituindo ① em ②: Observe que a variável x desaparece e é substituída por θ.
P(θ) = 2π ⋅ r ⋅ cos (θ)
- A área da superfície do anel é obtida com o produto de seu perímetro pela sua largura.
dA(θ) = P(θ) ⋅ ℓ ⟹ Substitua os valores de P(θ) e ℓ.
dA(θ) = 2π ⋅ r ⋅ cos (θ) ⋅ r ⋅ dθ
dA(θ) = 2π ⋅ r² ⋅ cos (θ) dθ
- Integre no intervalo de 0 a π/2 obtendo a metade da área da esfera depois multiplique por 2 para obter a área total.
A(r) = 2 ∫dA(θ)
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