Question

Use a forma apropriada da Regra da cadeia para determinar :
Z= e^1-xy ; x= t^1/3 ; y= t^3

Answer 1

Oi Erika :) Utilizei a seguinte regra:
$\frac{dz}{dt}= \frac{dz}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dt}$
Derivando cada termo:
dz/dx:
$\frac{dz}{dx}=e^{1-xy} \\ \\ \frac{dz}{dx}=-ye^{1-xy}$

dz/dy:
$\frac{dz}{dy}=e^{1-xy}\\ \\ \frac{dz}{dy}=-xe^{1-xy}$

dx/dt:
$\frac{dx}{dt}= t^{1/3} \\ \\ \frac{dx}{dt}= \frac{t^{-2/3}}{3}$

dy/dt:
$\frac{dy}{dt}=t^3 \\ \\ \frac{dy}{dt}=3t^2$

Agora é só juntar todo mundo na ordem da regra:
$\frac{dz}{dt}= \frac{dz}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dt}$

$\frac{dz}{dt} =(-ye^{1-xy})(\frac{t^{-2/3}}{3})+(-xe^{1-xy})(3t^2)$

Como queremos apenas a função em relação a t, basta substituir o valores de x e y  na função:

$\frac{dz}{dt} =(-ye^{1-xy})(\frac{t^{-2/3}}{3})+(-xe^{1-xy})(3t^2) \\ \\ \frac{dz}{dt} =(-t^3e^{1-t^{ \frac{1}{3} }t^3})(\frac{t^{-2/3}}{3})+(-t^{ \frac{1}{3} }e^{1-t^{ \frac{1}{3}}t^3})(3t^2) \\ \\ \frac{dz}{dt} =- \frac{1}{3}t^{ \frac{7}{3} }e^{1-t^{ \frac{10}{3} }} -3t^{ \frac{7}{3} }e^{1-t^{ \frac{10}{3} }} \\ \\ \frac{dz}{dt} =- \frac{10}{3}t^{ \frac{7}{3} }e^{1-t^{ \frac{10}{3} }}$