Question

Use a forma apropriada da Regra da cadeia para determinar :
Z= 3cosx – senxy ; x= 1/t ; y=3t

Answer 1

cosx . 0 + 3(-senx) - cosxy . 1
-3senx - cosxy
-3sen (1/t) - cos(1/t . 3t)
-3sen(1/t) - cos3

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Answer 2

Oi. Utilizei a seguinte regra:
$\frac{dz}{dt}= \frac{dz}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dt}$
Então vamos derivar cada termo:
dz/dx:
$\frac{dz}{dx}=3cosx-sen(xy) \\ \\ \frac{dz}{dx}=-3senx-ycos(xy)$

dz/dy:
$\frac{dz}{dy}=3cosx-sen(xy) \\ \\ \frac{dz}{dy}=-xcos(xy)$

dx/dt:
$\frac{dx}{dt}= \frac{1}{t} \\ \\ \frac{dx}{dt}= -\frac{1}{t^2}$

dy/dt:
$\frac{dy}{dt}=3t \\ \\ \frac{dy}{dt}=3$

Agora é só juntar todo mundo na ordem da regra:
$\frac{dz}{dt}= \frac{dz}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dt}$

$\frac{dz}{dt} =(-3senx-ycos(xy))(-\frac{1}{t^2})+(-xcos(xy))(3)$

Como queremos apenas a função em relação a t, basta substituir o valores de x e y  na função:

$\frac{dz}{dt} =(-3sen \frac{1}{t} -3tcos( \frac{1}{t} 3t))(-\frac{1}{t^2})- \frac{1}{t} cos(\frac{1}{t} 3t))(3) \\ \\ \frac{dz}{dt} =(-3sen (\frac{1}{t}) -3tcos(3))(-\frac{1}{t^2})- \frac{3}{t} cos(3) \\ \\ \frac{dz}{dt} = \frac{3sen (\frac{1}{t})}{t^2} + \frac{3tcos(3)}{t^2} - \frac{3}{t} cos(3) \\ \\ \frac{dz}{dt} =\frac{3sen (\frac{1}{t})}{t^2} +\frac{3}{t} cos(3)} - \frac{3}{t} cos(3) \\ \\ \frac{dz}{dt} =\frac{3}{t^2} sen (\frac{1}{t})$