Matemática, perguntado por vitor28vicente, 5 meses atrás

Use a derivação implícita para determinar dy/dx na função abaixo:

x + xy + 3x² = 7​

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável x:

\dfrac{d}{dx}(x+xy+3x^2)=\dfrac{d}{dx}(7)

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

  • A derivada é um operador linear, logo vale que: \dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))+\dfrac{d}{dx}(g(x)) e \dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{d}{dx}(f(x)).
  • A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: \dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}.
  • A derivada do produto entre duas funções contínuas e deriváveis é calculada pela regra do produto: \dfrac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}(g(x)).
  • A derivada de uma função y=y(x) é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}(y(x))=\dfrac{d}{dy}(y(x))\cdot \dfrac{dy}{dx}.

Aplique a linearidade

\dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(xy)+3\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2)=7\cdot\dfrac{d}{dx}(1)

Aplique a regra do produto e da cadeia

\dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(x)\cdot y+x\cdot\dfrac{d}{dx}(y)+3\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2)=7\cdot\dfrac{d}{dx}(1)\\\\\\ \dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(x)\cdot y+x\cdot\dfrac{d}{dy}(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}+3\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2)=7\cdot\dfrac{d}{dx}(1)

Aplique a regra da potência, lembrando que x=x^1 e 1=x^0

1\cdot x^{1-1}+1\cdot x^{1-1}\cdot y+x\cdot1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}+3\cdot2\cdot x^{2-1}=7\cdot0\cdot x^{0-1}

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

1+y+x\cdot\dfrac{dy}{dx}+6x=0

Subtraia 1+y+6x em ambos os lados da igualdade

x\cdot\dfrac{dy}{dx}=-1-y-6x

Divida ambos os lados da igualdade por um fator x,~x\neq0

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1+y+6x}{x}

Esta é a derivada implícita desta função.

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