Question

Use a denição de derivada por limite para calcular a derivada da função
f(x) = √x + 2.

Answer 1

Resposta:

Para calcular a derivada pela definição de LIMITES, tem que aplicar nessa formula

lim [f(x+h) - f(x)]/h, quando h tende a zero.

a) Primeiro calcule f(x+h):

y= x^2 + 4x--->>>>f(x)=x^2 + 4x (somente substitui o y por f(x) ).

f(x)=x^2 + 4x------>>>>agora, no lugar de (x), cploca se (x+h), ficando assim:

f(x+h)=(x+h)^2 +4(x+h)------>>>>>resolvendo, vc tem que achar esta resposta:                                                         f(x+h)=x^2 +2xh +h^2 + 4x + 4h

Beleza!! Já esta quase resolvido, so falta substituir naquela formula lá em cima, e fazer algumas simplificações.

lim  [ f(x+h) - f(x)]/h

lim [(x^2 + 2xh + h^2 +4x + 4h) - (x^2 + 4x)] /h

Agora é só simplificar:

lim (x^2 + 2xh + h^2 +4x + 4h - x^2 - 4x) /h ---->>>>somente retirei de dentro                                                                                  dos parenteses.

Agora, perceba que dá para simplificar o x^2 com - x^2, e o 4x com o -4x. Depois de simplificar, irá ficar assim:

lim (2xh + h^2 + 4h) /h

Agora, perceba que no numerador, pode se colocar o (h) em evidencia, ficando assim agora:

lim h(2x + h + 4) /h

Agora cancela o h de cima e o de baixo(corta eles), ficando assim:

lim 2x + h + 4

Agora, como não deu pra escrever que h tende a 0 (h-->0) em todos os limites que escrevi, assim e só vc saber disso, e substituir o h=0, nesse ultimo limite, ficando assim:

lim 2x +0 +4= 2x +4

Essa é a derivada, 2x + 4.

Para as outros itens é so vc seguir esse mesmo metodo, e aplicar a algebra necessária, vai por mim, é a mesma coisa, so precisa dominar um pouco de algebra. Tem um canal bom no youtube, do professor José Fernando Grings, vai lá, assiste umas aulas que vc já vai aprender muita coisa de lá. Boa sorte ae nos estudos.

Estudo Engenharia, ate mais.

Answer 2

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{ h \to 0}\dfrac{\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2}}{h}\\\\\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{ h \to 0}\dfrac{(\sqrt{x+h+2}-\sqrt{x+2}) (\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}{h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}\\\\\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{ h \to 0}\dfrac{(\sqrt{x+h+2})^2-(\sqrt{x+2})^2}{h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{\backslash\!\!\!x+h+\backslash\!\!\!2-\backslash\!\!\!x-\backslash\!\!\!2}{h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}\\\\\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{\backslash\!\!\!h}{\backslash\!\!\!h(\sqrt{x+h+2}+\sqrt{x+2})}\\\\\rm f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+0+2}+\sqrt{x+2}}\\\\\rm f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}}\\\\\rm f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}\end{array}}$