Question

Use a definição do produto escalar, a . b = ab cos Θ, e o fato de que a . b = axbx + ayby + azbz para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por a = 3,0i + 3,0j + 3,0k e b = 2,0i + 1,0j + 3,0k.

Answer 1

$Cos \alpha = \frac{a.b}{|a|.|b|}$

a = (3,0i, 3,0j, 3,0k)   e   b = (2,0i, 1,0j, 3,0k)

a.b = (3, 3, 3)(2, 1, 3) 

ab =  3×2 +3×1 + 3×3 

a.b = 18
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$\\ |a|.|b| = \sqrt{3^2+3^2+3^2} . \sqrt{2^2+1^2+3^2} \\ \\ |a|.|b| = \sqrt{27} . \sqrt{14} \\ \\ |a|.|b| = \sqrt{9.3} . \sqrt{14} \\ \\ |a|.|b| = 3 \sqrt{3} . \sqrt{14} \\ \\ |a|.|b| = 3 \sqrt{42}$

Então:

$\\ Cos \alpha = \frac{18}{3 \sqrt{42} } \\ \\ Cos \alpha = \frac{6}{ \sqrt{42} } \\ \\ Cos \alpha = \frac{6}{ \sqrt{42} } * \frac{ \sqrt{42} }{ \sqrt{42} } \\ \\ Cos \alpha = \frac{6 \sqrt{42} }{42} \\ \\ Cos \alpha = \frac{ \sqrt{42} }{7} \\ \\ \alpha = arcCos(\frac{ \sqrt{42} }{7} )$

α ≈ 22,20°

Answer 2

O ângulo entre os dois vetores dados por a = 3,0i + 3,0j + 3,0k e b = 2,0i + 1,0j + 3,0k é aproximadamente, 22º.

Primeiramente, vamos definir os vetores a e b.

Como a = 3,0i + 3,0j + 3,0k, então a = (3,3,3).

Da mesma forma, como b = 2,0i + 1,0j + 3,0k, então b = (2,1,3).

Calculando o produto interno entre os vetores a e b, obtemos:

<a,b> = 3.2 + 3.1 + 3.3

<a,b> = 6 + 3 + 9

<a,b> = 18.

Agora, precisamos calcular as normas dos vetores a e b.

Calculando a norma do vetor a:

||a||² = 3² + 3² + 3²

||a||² = 9 + 9 + 9

||a||² = 3.9

||a|| = 3√3.

Calculando a norma do vetor b:

||b||² = 2² + 1² + 3²

||b||² = 4 + 1 + 9

||b||² = 14

||b|| = √14.

Portanto, o ângulo entre os vetores a e b é, aproximadamente, igual a:

cos(θ) = 18/(3√3.√14)

cos(θ) = 6/√42

θ = arccos(6/√42)

θ ≈ 22º.

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