Question

Use a definição de derivada de uma função para calcular f'(xo) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (xo, f(xo)).
f(x) = 1/x
xo = 1/2

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

A equação da reta tangente à curva do gráfico de uma função $f(x)$, contínua e diferenciável no ponto $(x_0,~f(x_0))$ é dada por: $y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$.

A derivada de uma função no ponto $x=x_0$ é, por definição, calculada pelo limite $f'(x_0)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Então, substituindo $f(x)=\dfrac{1}{x}$ e $x_0=\dfrac{1}{2}$, calculamos a derivada da função neste ponto:

$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\dfrac{1}{\frac{1}{2}+h}-\dfrac{1}{\frac{1}{2}}}{h}$

Some as frações no numerador

$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\dfrac{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}+h\right)}{\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}+h\right)}}{h}\\\\\\ f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-h}{\frac{h}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}+h\right)}}\\\\\\ f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{-h}{\frac{h}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}+h\right)}}$

Simplifique a fração por um fator $h$

$\\\\\\ f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{-1}{\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}+h\right)}}$

Calculando o limite quando $h\rightarrow0$, teremos:

$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-1}{\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}+0\right)}}\\\\\\ f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-1}{\frac{1}{4}}\\\\\\ f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=-4$

Assim, substituindo estes resultados na equação da reta tangente, teremos:

$y=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}+(-4)\cdot\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$

Calcule a fração de frações e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y=2-4x+2$

Some os termos semelhantes

$y=-4x+4$

Esta é a equação da reta tangente ao ponto que buscávamos.