Question

Usando uma serie de taylor centrada em a=1,o intervalo de convergência da função f(x) =ln x é:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá!

Primeiro encontre a série de Taylor da função $f(x)=ln\:x$

Como $f(x)$ é infinitamente derivável, a função admite uma expansão em série de Taylor.

$f(x)=ln\:x$

$f'(x)=\frac{1}{x}$

$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$

$f'''(x)=\frac{2}{x^3}$

$\vdots$

Então, a série de Taylor centrada em  $a=1$ será dada por:

$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n=\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n$

Aplique o teste da razão:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \left|\frac{(-1)^{n+2}(x-1)^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{(-1)^{n+1}(x-1)^{n}}\right|< 1$

$|-x+1| < 1$

Portanto, o intervalo de convergência é  

$0 < x < 2$.

Faça o teste nas duas extremidades e você verá que a série converge também em  $x=2$.