Question

Usando os produtos notáveis

1. Desenvolva:

a) (2x + 1/2)

b) (2x + 2/x)²

c) (3a/b + b/9a)²

d) (4a -1/2)²

e) (x/2² - 2)²

f) (xy - 1/10)²

g) (3a/4 - 1/2) (3a/4 + 1/2)

h) (2ab - 1/3) (2ab + 1/3)

i) (7/6 - 1/x) (7/6 + 1/x)​

Answer 1

Respostas:

$a)\;\;2x+\dfrac{1}{2}$

$b)\;\;4x^2+8+\dfrac{4}{x^2}$

$c)\;\;\dfrac{9a^2}{b^2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{b^2}{81a^2}$

$d)\;\;16a^2-4a+\dfrac{1}{4}$

$e)\;\;\dfrac{x^2}{16}-x+4$

$f)\;\;x^2y^2-\dfrac{xy}{5}+\dfrac{1}{100}$

$g)\;\;\dfrac{9a^2}{16}-\dfrac{1}{4}$

$h)\;\;4a^2b^2-\dfrac{1}{9}$

$i)\;\;\dfrac{49}{36}-\dfrac{1}{x^2}$

Resolução:

Comecemos por relembrar as prioridades das regras operatórias:    

1º - Parênteses    

2º - Potências e Raizes    

3º - Multiplicações e Divisões      

4º - Adições e Subtrações

Vale a pena relembrar também alguns casos notáveis da multiplicação:  

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Deixo ainda em anexo uma tabela de sinais na multiplicação, de forma a que a possas relembrar.

Com tudo isto em mente, vamos resolver o exercício.

a)

   $\left(2x+\dfrac{1}{2}\right)=$

$=2x+\dfrac{1}{2}$

b)

   $\left(2x+\dfrac{2}{x}\right)^2=$

$=(2x)^2+2\times2x\times\dfrac{2}{x}+\left(\dfrac{2}{x}\right)^2=$

$=4x^2+4x\times\dfrac{2}{x}+\dfrac{2^2}{x^2}=$

$=4x^2+\dfrac{8x}{x}+\dfrac{4}{x^2}=$

$=4x^2+\dfrac{8}{1}+\dfrac{4}{x^2}=$

$=4x^2+8+\dfrac{4}{x^2}$

c)

   $\left(\dfrac{3a}{b}+\dfrac{b}{9a}\right)^2=$

$=\left(\dfrac{3a}{b}\right)^2+2\times\dfrac{3a}{b}\times\dfrac{b}{9a}+\left(\dfrac{b}{9a}\right)^2=$

$=\dfrac{(3a)^2}{b^2}+\dfrac{6a}{b}\times\dfrac{b}{9a}+\dfrac{b^2}{(9a)^2}=$

$=\dfrac{9a^2}{b^2}+\dfrac{6ab}{9ab}+\dfrac{b^2}{81a^2}=$

$=\dfrac{9a^2}{b^2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{b^2}{81a^2}$

d)

   $\left(4a-\dfrac{1}{2}\right)^2=$

$=(4a)^2-2\times4a\times\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=$

$=16a^2-8a\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1^2}{2^2}=$

$=16a^2-4a+\dfrac{1}{4}$

e)

   $\left(\dfrac{x}{2^2}-2\right)^2=$

$=\left(\dfrac{x}{4}-2\right)^2=$

$=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2-2\times\dfrac{x}{4}\times2+(2)^2=$

$=\dfrac{x^2}{4^2}-\dfrac{2x}{4}\times2+4=$

$=\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{4x}{4}+4=$

$=\dfrac{x^2}{16}-x+4$

f)

   $\left(xy-\dfrac{1}{10}\right)^2=$

$=(xy)^2-2\times xy\times\dfrac{1}{10}+\left(\dfrac{1}{10}\right)^2=$

$=x^2y^2-2xy\times\dfrac{1}{10}+\dfrac{1^2}{10^2}=$

$=x^2y^2-\dfrac{2xy}{10}+\dfrac{1}{100}=$

$=x^2y^2-\dfrac{xy}{5}+\dfrac{1}{100}$

g)

   $\left(\dfrac{3a}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{3a}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=$

$=\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=$

$=\dfrac{(3a)^2}{4^2}-\dfrac{1^2}{2^2}=$

$=\dfrac{9a^2}{16}-\dfrac{1}{4}$

h)

   $\left(2ab-\dfrac{1}{3}\right)\left(2ab+\dfrac{1}{3}\right)=$

$=\left(2ab\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=$

$=2^2a^2b^2-\dfrac{1^2}{3^2}=$

$=4a^2b^2-\dfrac{1}{9}$

i)

   $\left(\dfrac{7}{6}-\dfrac{1}{x}\right)\left(\dfrac{7}{6}+\dfrac{1}{x}\right)=$

$=\left(\dfrac{7}{6}\right)^2-\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=$

$=\dfrac{7^2}{6^2}-\dfrac{1^2}{x^2}=$

$=\dfrac{49}{36}-\dfrac{1}{x^2}$

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