Question

Usando o Teorema fundamental do Cáluculo encontre a área sob o gráfico das seguintes funções dadas porF (X):
a) F(X)=X²−2X+4, com 1≤x≤3
b) F(X)=160 – 3X , com 0 ≤X≤40

Answer 1

A integral de uma curva pode ser interpretada como a área sob esta curva. O teorema fundamental do cálculo diz que se f é contínua no intervalo [a,b], então a integral definida
$\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

onde F é a função primitiva ou antiderivada de f.

Letra A
A função é f(x) = x² -2x + 4

Então a área sob a curva é:
$F(x) = \int x^2-2x+4 \, dx = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} +4x \\ \\ F(a) =F(1)= \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} +4 = \dfrac{2-9+24}{6} = \dfrac{17}{6} \\ \\ F(b) =F(3)= \dfrac{3^3}{3} - \dfrac{3^2}{2} +12 = 9- \dfrac{27}{2} +12 = \dfrac{18-27+24}{2} = \dfrac{15}{2} \\ \\ A = F(b)-F(a) = \dfrac{15}{2}- \dfrac{17}{6} = \dfrac{45-17}{6} = \dfrac{14}{3}$

Letra B
A função é f(x) = 160 - 3x

Então a área sob a curva é:
$F(x) = \int 160-3x \, dx = 160x - \dfrac{3x^2}{2} \\ \\ F(a) =F(0)= 0 \\ \\ F(b) =F(40)= 6400 - 2400 = 4000 \\ \\ A = F(b)-F(a) = 4000 - 0 = 4000$