Question

Usando o Teorema fundamental do Cálculo encontre a área sob o gráfico das seguintes funções dadas por f(x): letra A) f(x)= x² - 2x + 4, com 0 ≤ x ≤ 40

Answer 1

A área sob uma curva é o valor da integral cuja integrando é a função que descreve a curva, com limites de integração delimitando a área.

O teorema fundamental do cálculo diz que uma integral definida pode ser calculada da seguinte forma:
$F(x) = \int {f(x)} \, dx \\ \\ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b)- F(a)$

Neste caso, os limites de integração são a = 0 e b = 40. Aplicando o teorema:
$F(x) =\int {x^2-2x+4} \, dx = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{2x^2}{2} +4x \\ \\ F(b) = F(40) = \dfrac{40^3}{3} - \dfrac{2*40^2}{2} +4*40 = \dfrac{64000}{3} - 800 +160 \\ \\ F(40) = \dfrac{64000-1920}{3} = \dfrac{62080}{3} \\ \\ F(a) = F(0) = 0 \\ \\ \boxed{F(b)-F(a) = \dfrac{62080}{3} }$

A área sob o gráfico é dada por F(b) - F(a).