Question

Usando o teorema do confronto, mostre que se limx→x0 f(x) = 0 e g(x) é limitada, então limx→x0 f(x)g(x) = 0, mesmo que o limite da função g(x) não exista.

Answer 1

Resposta:

Teorema do confronto (Sanduíche)  

Lim  f(x)= 0

x-->x₀

 a ≤ g(x) ≤ b

  a f(x) ≤ f(x) *g(x) ≤b f(x)

Lim  a f(x) ≤ Lim f(x) *g(x) ≤ Lim b f(x)

x-->x₀          x-->x₀                  x-->x₀

a*Lim f(x) ≤Lim f(x) *g(x) ≤ b*Lim f(x)

   x-->x₀       x-->x₀                    x-->x₀

a*0 =>Lim f(x) *g(x) ≤b*0

          x-->x₀

0=>Lim f(x) *g(x) ≤0

      x-->x₀            

             

Lim f(x) *g(x) = 0

x-->x₀