Question

Usando o Teorema das Linhas, calcule a seguinte soma:

Answer 1

A soma se dá sobre o número 20.

No Teorema das linhas  a soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potencia de base 2 cujo expoente é a ordem da linha.

O tanto provas algébricas (fazendo as  contas com a fórmula do Binômio de Newton, no material  anterior a este), como provas que usam apenas argumentos  combinatórios (veja, por exemplo, o material sobre Combina¸coes do Modulo Princípios Básicos de Contagem.

Espero ter ajudado.

Answer 2

O teorema das linhas diz que ao somarmos uma linha do triângulo de Pascal obtemos uma potência de 2. Mais precisamente,

$\displaystyle \sum_{k = 0}^n C^k_n = C^0_n +C^1_n + \cdots + C^k_n = 2^n$ onde $C^k_n = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Para calcular a soma S começamos dividindo em duas parcelas

$S = \displaystyle \sum_{k = 1}^{20} (k+1)C^k_{20} = \sum_{k = 1}^{20} k\,C^k_{20} + \sum_{k = 1}^{20} C^k_{20} = S_1 + S_2$

Observe que a parcela da direita (isto é, S₂) é praticamente igual ao teorema das linhas. A única diferença é que não temos o termo k = 0 na soma. Assim, temos:

$C^0_{20} + S_2 = \displaystyle C^0_{20} + \sum_{k=1}^{20} C^k_{20} = \sum_{k=0}^{20} C^k_{20} = 2^{20} \implies \boxed{S_2 = 2^{20} - 1}$

Já para a parcela S₁ usaremos o seguinte resultado conhecido como relação de Fermat:

$p\, C^p_n = n\, C^{p-1}_{n-1}$

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$S_1 = \displaystyle \sum_{k = 1}^{20} k\,C^k_{20} = \sum_{k = 1}^{20} 20\, C^{k-1}_{19} = 20\sum_{k = 0}^{19} C^k_{19} \implies \boxed{S_1 = 20\times 2^{19}}$

Portanto, o valor de S que procurávamos é

S = 20*2¹⁹ + 2²⁰ - 1 = 10*2²⁰ + 2²⁰ - 1 = 11*2²⁰ - 1

Resposta:

S = 11*2²⁰ - 1