Question

Usando o Teorema das Colunas calcule a seguinte soma:

Answer 1

O Teorema das Colunas diz que ao somarmos os elementos de uma mesma coluna do triangulo de Pascal, obtemos o elemento na coluna seguinte e na linha abaixo. Mais precisamente,

$\displaystyle \sum_{k = p}^n \binom kp = \binom pp + \binom {p+1}p +\cdots +\binom np = \binom{n+1}{p+1}$

onde $\displaystyle \binom kp = \dfrac{k!}{p!(k-p)!}$ é o número binomial.

Assim, para calcular a soma S notamos que

$S = \dfrac{6!}{1!\,5!} + \dfrac{7!}{2!\,5!} + \cdots + \dfrac{20!}{15!\,5!} = \displaystyle\binom 65 + \binom 75 + \cdots + \binom {20}5$

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$\displaystyle \binom 55 + S = \binom 55 + \binom 65 + \cdots + \binom {20}5 = \sum_{k = 5}^{20} \binom{k}{5} \implies$

$\displaystyle S+ 1 = \binom{21}6 = \dfrac{21!}{15!6!} \implies \boxed{S = \dfrac{21!}{15!6!} -1}$

Resposta:

S = 21! /(15!6!) - 1 = 54363