Question

Usando o princípio de inclusão e exclusão para 3 conjuntos, determine
a quantidade de números naturais n tais que 150 ≤ n ≤ 1000
e não são divisíveis nem por 2 nem por 3 e nem por 7. Justifique.

Estou aprendendo ainda e não consigo aplicar oprincípio de inclusão e exclusão nessa questão.

Answer 1

A quantidade de números naturais entre 150 e 1000 que não são divisíveis por 2, 3 e/ou 7 é 241.

O princípio de inclusão e exclusão de três conjuntos nos diz que a união entre três conjuntos é calculada pela fórmula:

n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)

Como neste caso os conjuntos são A = números divisíveis por 2, B = números divisíveis por 3 e C = números divisíveis por 7, estes valores serão descontados do total, então devemos encontrar quantos números são divisores de 2, 3 e/ou 7 e descontar o valor da quantidade total de números entre 150 e 1000.

Considerando uma sequência de termos múltiplos de 2 (150, 152, ..., 1000) o primeiro termo é 150 e o último termo é 1000. Utilizando a fórmula do termo geral da P.A, temos que o número de múltiplos de 2 é:

1000 = 150 + (n-1)*2

n - 1 = 425

n(A) = 426

Fazendo o mesmo para 3 e 7, temos:

999 = 150 + (n-1)*3

n - 1 = 283

n(B) = 284

994 = 154 + (n-1)*7

n - 1 = 120

n(C) = 121

Os números que são divisores de 2 e 3 ao mesmo tempo são todos divisores de 6, portanto, o conjunto n(A∪B) calcula-se:

990 = 150 + (n-1)*6

n - 1 = 140

n(A∩B) = 141

Os divisores de 2 e 7 são divisores de 14, portanto:

994 = 154 + (n-1)*14

n - 1 = 60

n(A∩C) = 61

Os divisores de 3 e 7 são divisores de 21, portanto:

987 = 168 + (n-1)*21

n - 1 = 39

n(B∩C) = 40

Os divisores de 2, 3 e 7 são divisores de 42, portanto:

966 = 168 + (n-1)*42

n - 1 = 19

n(A∩B∩C) = 20

A quantidade de números naturais divisores de 2, 3 e/ou 7 é:

n(A∪B∪C) = 426 + 284 + 121 - 141 - 61 - 40 + 20

n(A∪B∪C) = 609

Há 851 números naturais entre 150 e 1000 (incluídos), portanto, os números que se encaixam no enunciado são 851 - 609 = 241 números.