Question

Usando o Princípio da Indução, mostre que 3n(n+1) é um múltiplo de 6 para todo inteiro n⩾1.

Answer 1

Resposta: Demonstrado conforme passo a passo

Explicação passo a passo:

Teoria de Indução finita.

1º) Prove que a expressão é verdadeira para n = 1.

2º) Admita(hipótese) que a expressão é verdaderira para n = k

3º) Se a expressão é verdadeira para n = k então prove que ela é verdadeira(tese) para n = k + 1

Resolução,

1ª) Para n = 1,

3n(n+1) = 3(1)(1+1)= 3(2) = 6 [verdadeira 6 é múltiplo de 6 pois (6/6) = 1]

2º) n = k

3k(k+1) é verdadeira por hipótese

3º) Substitua n por k + 1

3n(n+1) = 3(k+1)(k+1+1) = 3(k+1)(k+2)

Desenvolva,

3(k+1)k + 3(k+1)2 = 3(k+1)k + 6(k+1)

O 1º termo, 3(k+1)k por hipótese é múltiplo de 6

O 2º termo 6(k+1) também é múltiplo de 6(pois 6 é um fator de 6(k+1)

Se os dois termos são mútiplos de 6 então a soma deles também é múltiplo de 6