Question

Usando o Princípio da Indução Finita, prove que:

Answer 1

Seja a seguinte proposição:

$p(n)= 2.4.6.8...(2n)=2^n.n!, \forall n\geq 1$

base indutiva: para p(1) é verdadeiro pois

$p(1)=2^1.1!=2$

hipótese indutiva: seja k um número natural positivo. Suponhamos que p(k) também seja verdadeira, entao

$p(k)=2.4.6.8...(2k)=2^k.k!, k\in \mathbb{N}$

Por implicação, p(k+1) também deve ser verdadeiro, entao

$2.4.8...(2k).(2k+2)\\2^kk!(2k+2)=2^kk!2(k+1)\Rightarrow 2^{k+1}k!(k+1)$

Então p(n) é válida para todos os números naturais