Question

Usando o método de rotação, calcule o volume sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da região sob a função y=x^3, no intervalo [1,2]

Answer 1

O teorema de Pappus permite escrever o volume do sólido gerado pela região na forma:

$V = 2\pi R A,$

onde $A$ é a área dessa região e $R$ é a distância do centroide da região ao eixo de rotação, que neste caso é $Ox$.

A distância $R$ corresponde à ordenada $y_\textrm{c}$ do centroide, que é, por definição:

$R = y_\textrm{c} = \dfrac{1}{A}\displaystyle\iint\limits_A y\textrm{ d}x\textrm{ d}y.$

Portanto, podemos resolver diretamente para o produto $RA$ que figura na fórmula do volume:

$RA = \displaystyle\iint\limits_A y\textrm{ d}x\textrm{ d}y = \int\limits_1^2\int\limits_0^{x^3} y\textrm{ d}y\textrm{ d}x = \int\limits_1^2 \dfrac{y^2}{2}\Big\vert_0^{x^3}\textrm{d}x =\\\\= \dfrac{1}{2}\times \int\limits_1^2 x^6\textrm{ d}x = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{x^7}{7}\Big\vert_1^2 = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{2^7-1^7}{7} = \dfrac{127}{14}.$

Por fim, o volume do sólido é:

$V = 2\pi R A = 2\pi \times \dfrac{127}{14} = \dfrac{127}{7}\pi.$

Resposta: $\boxed{V = \dfrac{127}{7}\pi}.$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume procurado do sólido de revolução é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V = \frac{127\pi}{7}\,u.\,v.\:\:\:}}\end{gathered} }$    

Sejam os dados:

                 $\Large\begin{cases} f(x) = x^{3}\\I = \left[1,\,2\right]\end{cases}$

Se o sólido é de revolução, então podemos girá-lo sobre um dos eixos. Quando realizamos este giro sobre o eixo das abscissas, obtemos uma fatia - no ponto x -  em forma de disco, cuja medida do raio "r" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt r = f(x) = x^{3}\end{gathered}$

Sabendo que a área dos disco circular pode ser calculada como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x)= \pi r^{2}\end{gathered}$

Substituindo "I" em "II", temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x) = \pi(x^{3})^{2} = \pi x^{6}\end{gathered}$

Sabendo que o volume de um sólido de revolução pode ser definido como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{a}^{b}A(x)\,dx \end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "III", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{1}^{2} (\pi x^{6})\,dx \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \int_ {1}^{2} x^{6}\,dx\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{6 + 1}}{6 + 1}\bigg)\bigg|_{1}^{2}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{7}}{7}\bigg)\bigg|_{1}^{2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{2^{7}\cdot \pi}{7} - \frac{1^{7}\cdot \pi}{7}\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{128\pi}{7} - \frac{\pi}{7}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{128\pi - \pi}{7}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{127\pi}{7}\end{gathered}$

✅ Portanto, o volume procurado é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \frac{127\pi}{7}\,u.\,v.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$