Usando o método de rotação, calcule o volume sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da região sob a função y=x^3, no intervalo [1,2]
Soluções para a tarefa
O teorema de Pappus permite escrever o volume do sólido gerado pela região na forma:
onde é a área dessa região e é a distância do centroide da região ao eixo de rotação, que neste caso é .
A distância corresponde à ordenada do centroide, que é, por definição:
Portanto, podemos resolver diretamente para o produto que figura na fórmula do volume:
Por fim, o volume do sólido é:
Resposta:
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume procurado do sólido de revolução é:
Sejam os dados:
Se o sólido é de revolução, então podemos girá-lo sobre um dos eixos. Quando realizamos este giro sobre o eixo das abscissas, obtemos uma fatia - no ponto x - em forma de disco, cuja medida do raio "r" é:
Sabendo que a área dos disco circular pode ser calculada como:
Substituindo "I" em "II", temos:
Sabendo que o volume de um sólido de revolução pode ser definido como:
Substituindo os valores na equação "III", temos:
✅ Portanto, o volume procurado é:
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