Question

Usando o método de completar quadrados , determine as raízes das equações abaixo.
a) X² +6X+8=0
b) x² -10x-11=0

Answer 1

Resposta:

a) x=-2, x=-4

b) x=31, x=19

Answer 2

Resposta:

a)  S = { - 4 ; - 2 }             b) S = { - 1 ; 11 }

Explicação passo a passo:

a)  

Observação 1 → Método de completar os quadrados

É usado para obter um Produto Notável : o "Quadrado de uma Soma" ou

"Quadrado de uma Diferença".

Aos dois primeiros termos ,do futuro quadrado, adiciona-se:

o " quadrado de metade do coeficiente do termo em x"

Neste caso a seguir , foi  $(\frac{6}{2} )^{2}$.

Mas para que não se altere a equação, temos de seguida que subtrair o

mesmo valor.

Observação 2 → Com escolher o sinal entre os monómios , quando se

completa quadrados?

Repare que ficamos sem saber, à partida, se vai ficar ( x + 3)²  ou

( x - 3 )².

Quem desfaz a dúvida é o termo em "x", o " + 6x ".

É este mais que nos desfaz as dúvidas.

( x + 3 )²

$(x^{2} +6x+(\frac{6}{2} )^{2} } ) -(\frac{6}{2} )^{2} +8=0$²

$(x+3 )^2 -3^{2} +8=0$  

$(x+3 )^2 -1=0$

Aqui temos duas maneiras de resolver.

Ou a diferença de dois quadrados    ( x + 3)² - 1²

ou usando raízes quadradas

$(x+3 )^2=1$

$\sqrt{(x+3 )^2} =\sqrt{1}$

$x+3 =+1$         ou     $x+3 =-1$  

$x=-2$    ou  $x = - 4$

b)

$(x^{2} -10x+(\frac{-10}{2})^2 )-(\frac{-10}{2} )^{2} -11=0$

$(x-5 )^2-(-5)^{2} -11=0$

Aqui o sinal " - " entre "x" e " 5 " é determinado pelo sinal do termo em "x",

que era "- 10 x"

$(x-5 )^2-25 -11=0$

$(x-5 )^2-36=0$

$(x-5 )^2=36$

$\sqrt{(x-5 )^2} =+\sqrt{36}$      ou   $\sqrt{(x-5 )^2} =-\sqrt{36}$    

$x-5 =+6$      ou   $x-5 =-6$    

$x =+11$      ou   $x=-1$  

S = { - 1 ; 11 }

Bons estudos.