Question

Usando o fato de que, para qualquer n inteiro estritamente positivo,
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n \times (n + 1)}$
,é possível afirmar que o valor correto de
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ..... + \frac{1}{99 \times (99 + 1)}$
é:

a)
$\frac{100}{49}$
b)
$\frac{99}{100}$
c)
$\frac{50}{49}$
d)
$\frac{49}{50}$
e)
$\frac{100}{99}$
Obs: agradeço qualquer ajuda.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Soma finita :

Usando o fato de que :

$\mathsf{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}~=~\dfrac{1}{n(n+1)} }$

[Dada a Soma :

$\mathsf{S~=~\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+...+\dfrac{1}{99(99+1)} }$

Vamos tentar desmembrar a Soma :

$\mathsf{S~=~\dfrac{1}{1(1+1)}+\dfrac{1}{2(2+1)}+\dfrac{1}{3(3+1)}+...+\dfrac{1}{99(99+1)} }$

Aplicando o fato indicando acima ter-se-á:

$\mathsf {S~=~\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99(99+1)} }$

$\mathsf{S~=~1-\cancel{\dfrac{1}{2}}+\cancel{\dfrac{1}{2}}-\cancel{\dfrac{1}{3}}+\cancel{\dfrac {1}{3}}-\cancel{\dfrac{1}{4}}+...\cancel{\dfrac{1}{99}}-\dfrac{1}{100} }$

$\mathsf{S~=~1-\dfrac{1}{100} }$

$\mathsf{S~=\dfrac{100-1}{100} }$

$\mathsf{\red{S~=~\dfrac{99}{100} }}$

Espero ter ajudado bastante!)