Question

Usando integral, calcule o comprimento do arco da curva dada por $y= x^{\frac{3}{2} }$ , que vai de A até B, conforme a figura a seguir.

Answer 1

O comprimento do arco pedido é $\displaystyle\mathsf{\frac{8\cdot 10^{\frac{3}{2}}-13^{\frac{3}{2}}}{27}.}$

Explicação

O comprimento L do arco no intervalo [a, b] do gráfico de uma função y = f(x) é dado pela seguinte fórmula:

$\large\boxed{\mathsf{L= \int\limits_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx}}$

Nesta questão, temos a função $\mathsf{y=x^{\frac{3}{2}}-4}$ e queremos calcular o comprimento do arco de seu gráfico no intervalo [1, 4].

Calculando a primeira derivada da função dada, encontramos $\displaystyle\mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}.}$

Substituindo essa derivada na fórmula, segue que:

$\displaystyle\large\mathsf{L= \int\limits_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx=}\\\\\\\large\mathsf{= \int\limits_1^4\sqrt{1+\left(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\right)^2}\,dx=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_1^4\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,dx=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_1^4\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{\frac{1}{2}}\,dx}$

Agora, vamos fazer uma mudança de variável. Seja $\mathsf{u=1+\dfrac{9}{4}x.}$ Dessa forma, tem-se $\mathsf{du=\dfrac{9}{4}dx.}$ Por conseguinte, $\mathsf{dx=\dfrac{4}{9}du.}$

Determinemos os novos limites de integração. Quando $\mathsf{x=4.}$ temos $\mathsf{u=1+\dfrac{9}{4}\cdot4=10.}$ Quando $\mathsf{x=1,}$ temos $\mathsf{u=1+\dfrac{9}{4}\cdot 1=\dfrac{13}{4}.}$

Daí, ficamos com:

$\displaystyle\large\mathsf{\int\limits_1^4\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{\frac{1}{2}}\,dx=}\\\\\\\large\mathsf{=\int\limits_{\frac{13}{4}}^{10}\frac{4}{9}u^{\frac{1}{2}}\,du=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{4}{9}\int\limits_{\frac{13}{4}}^{10}u^{\frac{1}{2}}\,du=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{4}{9}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{13}{4}}^{10}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{8}{27}\cdot10^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{27}\cdot\left(\frac{13}{4}\right)^{\frac{3}{2}}}$

Usando propriedades das potências e radicais, vem que:

$\displaystyle\large\mathsf{\frac{8}{27}\cdot10^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{27}\cdot\left(\frac{13}{4}\right)^{\frac{3}{2}}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{8\cdot 10^{\frac{3}{2}}}{27}-\frac{8}{27}\cdot \frac{13^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{8\cdot 10^{\frac{3}{2}}}{27}-\frac{8}{27}\cdot\frac{13^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{4^3}}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{8\cdot 10^{\frac{3}{2}}}{27}-\frac{8}{27}\cdot\frac{13^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{64}}}$

Calculando a raiz e simplificando termos iguais no numerador e denominador, tem-se:

$\displaystyle\large\mathsf{=\frac{8\cdot 10^{\frac{3}{2}}}{27}-\frac{8}{27}\cdot\frac{13^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{64}}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{8\cdot 10^{\frac{3}{2}}}{27}-\frac{8}{27}\cdot\frac{13^{\frac{3}{2}}}{8}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{8\cdot 10^{\frac{3}{2}}-13^{\frac{3}{2}}}{27}}$

Portanto,

$\large\boxed{\mathsf{L=\frac{8\cdot 10^{\frac{3}{2}}-13^{\frac{3}{2}}}{27}}.}$

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