Question

Usando integral, calcule o comprimento do arco da curva dada por: $y=x^{\frac{3}{2} } -4$ , que vai de A até b, conforme a figura a seguir:

Answer 1

Para calcular o comprimento dessa função, vamos utilizar a seguinte fórmula:

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) {}^{2} }dx$

Os limites de integração a e b são justamente os valores do intervalo em "x" da figura, ou seja, o intervalo [1,4]. Já dy/dx é a derivada da função que estamos calculando o comprimento. Portanto vamos iniciar derivando a função:

$y = x {}^{ \frac{3}{2} } - 4 \: \: \to \: \: \frac{dy}{dx} = \frac{3x {}^{ \frac{1}{2} } }{2}$

Substituindo os dados na fórmula, temos:

$L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \left( \frac{3x {}^{ \frac{1}{2} } }{2} \right) {}^{2} } dx \\ \\ L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \frac{(3x {}^{ \frac{1}{2} } ) {}^{2} }{2 {}^{2} } } \: dx \\ \\ L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \frac{9x}{4} } \: dx \\ \\ L = \int_{1}^{4} \sqrt{ \frac{4.1 + 9x}{4} } \: dx \\ \\ L = \int_{1}^{4} \sqrt{ \frac{9x + 4}{4} } \: dx \\ \\ L = \int_{1}^{4} \frac{ \sqrt{9x + 4} }{ \sqrt{4} } \: dx\\ \\ L = \int_{1}^{4} \frac{ \sqrt{9x + 4} }{2} \: dx \\ \\ L = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{9x + 4} \: dx$

Agora é só resolver a integral e aplicar o Teorema Fundamental do cálculo:

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{9x + 4} \: dx \: \: \to \: \: \frac{1}{2} \int_{1}^{4} (9x + 4) {}^{ \frac{1}{2} } dx$

Por substituição temos que:

$u = 9x + 4 \: \: \to \: \: \frac{du}{dx} = 9 \: \to \: \frac{du}{9} = dx$

Substituindo as informações:

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} . \frac{du}{9} \: \: \to \: \: \frac{1}{18} \int_{1}^{4}u {}^{ \frac{1}{2} }du \\ \\ \frac{1}{18}. \left[ \frac{u {}^{1 + \frac{1}{2} } }{1 + \frac{1}{2} } \right] \bigg|_{1}^{4} \: \: \to \: \: \frac{1}{18} . \frac{u {}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } \bigg|_{1}^{4} \\ \\ \frac{2}{54} .u {}^{ \frac{3}{2} } \bigg|_{1}^{4} \: \: \to \: \: \frac{1}{27} \sqrt[3]{9x + 4} \bigg|_{1}^{4}$

Aplicando o Teorema Fundamental:

$\frac{1}{27} . \sqrt[3]{9.4 + 4} - \frac{1}{27} . \sqrt[3]{9.1 + 4} \\ \\ \frac{1}{27} \sqrt[3]{36 + 4} - \frac{1}{27} \sqrt[3]{13} \\ \\ \boxed{ \boxed{\frac{1}{27} \sqrt[3]{40} - \frac{1}{27} \sqrt[3]{13} }}$

Espero ter ajudado