Question

usando integrais triplas, calcule o volume do solido acima da superficie z=x^2 +y^2 e abaixo z+4-x^2-y^2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{4\pi~u.~v}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos o volume do sólido delimitado acima da superfície $z=x^2+y^2$ e abaixo de $z=4-x^2-y^2$ por meio de integrais triplas, utilizaremos coordenadas cilíndricas.

Primeiro, esboce o sólido. Veja a imagem em anexo.

O volume de um sólido, nestas condições, é dado pela seguinte integral tripla:

$V=\displaystyle{\int\int\int1\,dz\,dy\,dx$.

Devemos encontrar os limites de integração. Antes, fazemos $z=z$, tal que

$4-x^2-y^2=x^2+y^2$

Some $x^2+y^2$ em ambos os lados da equação

$2x^2+2y^2=4$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$x^2+y^2=2$

Veja que esta é uma equação de circunferência, com centro em $(0,~0)$ e raio $r=\sqrt{2}$.

Veja que o processo que fizemos acima já nos deu o valor do raio $r$. Porém, nosso limite de integração será $0\leq r\leq \sqrt{2}$.

Então, utilizamos coordenadas cilíndricas. Teremos:

$\begin{cases}x=r\cos(\theta)\\y=r\sin(\theta)\\z=z\\\end{cases}$.

Ao fazermos esta mudança de variáveis, devemos calcular o determinante jacobiano:

$J=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial z}\\\\\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial z}\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial z}\\\end{vmatrix}$

Calcule as derivadas parciais

$J=\begin{vmatrix}\cos(\theta)&-r\sin(\theta)&0\\\sin(\theta)&r\cos(\theta)&0\\ 0&0&1\\\end{vmatrix}$

Calcule o determinante utilizando a Regra de Sarrus

$J=r$

Já o ângulo $\theta$ varia livremente no plano $xy$, logo seu limite de integração será $0\leq\theta\leq 2\pi$.

Por fim, como buscamos o volume acima de $z=x^2+y^2$ e abaixo de $z=4-x^2-y^2$, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{r^2}^{4-r^2}r\,dz\,dr\,d\theta$

Para calcularmos esta integral, começamos pela integral mais interna. Neste caso, ela está definida para a variável $z$, logo aplicamos as propriedades: $\displaystyle\int a\,dx=a\cdot\int\,dx$ e $\displaystyle{\int_a^b\,dx=b-a$.

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}r\cdot(4-r^2-r^2)\,dr\,d\theta$

Some os termos semelhantes e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}4r-2r^3\,dr\,d\theta$

Agora, para calcularmos a próxima integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
• A integral definida de uma função é calculada de acordo com o Teorema fundamental do cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Calculando a integral, temos

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}2r^2-\dfrac{r^4}{2}~\biggr|_{0}^{\sqrt{2}}\,d\theta}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{2\pi}2\cdot(\sqrt{2})^2-\dfrac{(\sqrt{2})^4}{2}-\left(2\cdot0^2-\dfrac{0^4}{2}\right)\,d\theta$

Calcule as potências e multiplique e some os valores

$\displaystyle{\int_0^{2\pi}2\,d\theta$

Aplique a propriedade já discutida acima

$2\cdot(2\pi-0)$

Multiplique os valores

$4\pi~\bold{u.~v}$

Este é o volume deste sólido.